题目列表(包括答案和解析)
若直线
被曲线
所截得的弦长大于
，求正整数
的最小值。
. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线
的参数方程为
(
为参数）.若以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线
的极坐标方程为
.
(1) 求曲线C的直角坐标方程;
(2) 求直线被曲线所截得的弦长.
在平面直角坐标系中，直线
的参数方程为
(
为参数）.若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为
.
(Ⅰ) 求曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ) 求直线被曲线
所截得的弦长.
①．已知函数
则
的解为
②. 在直角坐标系中，直线
的参数方程为
（
为参数），若以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线
的极坐标方程为
，则直线被曲线所截得的弦长为
（本小题满分10分）（选修4－4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系中，直线
的参数方程为
为参数）.若以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线
的极坐标方程为
.
（I）求曲线的直角坐标方程;
（II）求直线被曲线所截得的弦长.
命题人：阳志长（株洲县五中） 方厚良（株洲县五中） 邓秋和（株洲市二中）
审题人：邓秋和（株洲市二中） 阳志长（株洲县五中） 方厚良（株洲县五中）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
题号
1
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
答案
B
A
C
A
D
A
A
D
B
B
二、填空题：（本大题共５小题，每小题５分，共２５分。把答案填写在相应的横线上。）
11. 2 12.
13.20
14.－3或－7 15.
三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.解：（Ⅰ）根据正弦定理，由
得
，----2分
∴锐角
。???4分
（Ⅱ）∵
，
，???5分
＝
＝
。???9分
，
-----10分
，
，
故的取值范围是
。-----12分
17.解：（Ⅰ）记A表示事件：进入该健身中心的1位健身者选择的是甲种项目，B表示事件：进入该健身中心的1位健身者选择的是乙种项目，则事件A与事件B相互独立，P（A）＝
，P（B）＝
。???－1分
故进入该健身中心的1位健身者选择甲、乙两种项目中的一项的概率为：P
＝
＝P（A）
＋
＝
。-??4分
（Ⅱ）记C表示事件：进入该健身中心的1位健身者既未选择甲种又未选择乙种健身项目，D表示事件：进入该健身中心的4位健身者中，至少有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A2表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A3表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有3位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A4表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有4位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，???5分
则P（C）＝
，???7分
，???8分
，???9分
???10分
。???12分
18.解：（Ⅰ）
，
。???3分
（Ⅱ）如图，以A为原点，DA、AB、AP所在直线为
、
、
轴，建立空间直角坐标系
，则B
，C（－2,4，0），P（0,0，2）。???5分
设平面PBC的一个法向量
由
取
得， 
，
，???7分
故点A到平面PBC的距离
???9分
（Ⅲ）设平面PDC的一个法向量
由
，
取
得， 
，
，???10分
故
，???11分
二面角
的大小为
。???12分
（其他解法酌情给分）
19（13分）. 解：（Ⅰ）
，
∴当
时，
。???2分
当
时，
，???4分
当时也满足上式，故
数列
的通项公式是
。???6分（未验算减1分）
（Ⅱ）
，???7分
①
②
①
－②得
，
。???9分（有错位相减思想，计算错误得1分，后继过程不计分）
，
数列
单调递增，
最小，最小值为：
???11分
???12分
故正整数
的最大值为2。???13分
20.解：（Ⅰ）∵
，
∴
，即
，
∴
。----3分
设
，则
，
，
平方整理得曲线C的方程：
。-----6分
（Ⅱ）由曲线C的对称性知，以N为中点的弦的斜率存在，设弦的端点为
，则
。-----8分
∵点A、B都在曲线C上，
，
两式相减得：
，----10分
，
∴弦AB的斜率
，12分
∴弦AB的直线方程为
，即
。???13分
21（13分）. 解：（Ⅰ）
，???1分
，???2分
故函数
在区间
、
上单调递增，
在
上单调递减。???4分
（Ⅱ）∵二次函数
有最大值，
。???5分
由
得
，???6分
∵函数
与
的图象只有一个公共点，
。
又
，
。???7分
又
，
。???8分
（Ⅲ）当时，函数在区间、上单调递增，
函数
在区间
上单调递增。
，解得
。???10分
当
时，函数在区间
、
上单调递增，
函数在区间
上单调递增。
，解得
。???12分
综上所述，实数
的取值范围是
。???13分
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