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设函数其中实数．

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；

（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．

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设函数，，其中实数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；
（3）若与在区间内均为增函数，求实数的取值范围．

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命题人：阳志长（株洲县五中）  方厚良（株洲县五中）  邓秋和（株洲市二中）

审题人：邓秋和（株洲市二中）  阳志长（株洲县五中）  方厚良（株洲县五中）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

题号

1

２

３

４

５

６

７

８

９

１０

答案

B

A

C

A

D

A

A

D

B

B

二、填空题：（本大题共５小题，每小题５分，共２５分。把答案填写在相应的横线上。）

11. 2　　12.　　13.20　　14.－3或－7　　15.

三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.解：（Ⅰ）根据正弦定理，由得，----2分

∴锐角。???4分

（Ⅱ）∵，，???5分

＝

＝。???9分                     

，-----10分

，，

故的取值范围是。-----12分

17.解：（Ⅰ）记A表示事件：进入该健身中心的1位健身者选择的是甲种项目，B表示事件：进入该健身中心的1位健身者选择的是乙种项目，则事件A与事件B相互独立，P（A）＝，P（B）＝。???－1分

故进入该健身中心的1位健身者选择甲、乙两种项目中的一项的概率为：P＝＝P（A）＋＝。-??4分

（Ⅱ）记C表示事件：进入该健身中心的1位健身者既未选择甲种又未选择乙种健身项目，D表示事件：进入该健身中心的4位健身者中，至少有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A₂表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A₃表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有3位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A₄表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有4位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，???5分

则P（C）＝，???7分

，???8分

，???9分

???10分

。???12分

18.解：（Ⅰ）

，

。???3分

（Ⅱ）如图，以A为原点，DA、AB、AP所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，则B，C（－2,4，0），P（0,0，2）。???5分

设平面PBC的一个法向量

由

取得， ，，???7分

故点A到平面PBC的距离???9分

（Ⅲ）设平面PDC的一个法向量由

，

取得， ，，???10分

故，???11分

二面角的大小为。???12分

（其他解法酌情给分）

19（13分）. 解：（Ⅰ），

∴当时，。???2分

当时，，???4分

当时也满足上式，故

数列的通项公式是。???6分（未验算减1分）

（Ⅱ），???7分

　　　①

　　　②

①     －②得，

 。???9分（有错位相减思想，计算错误得1分，后继过程不计分）

，

数列单调递增，最小，最小值为：???11分

???12分

故正整数的最大值为2。???13分

20.解：（Ⅰ）∵，

∴，即，

∴。----3分

设，则，，

平方整理得曲线C的方程：。-----6分

（Ⅱ）由曲线C的对称性知，以N为中点的弦的斜率存在，设弦的端点为，则。-----8分

∵点A、B都在曲线C上，

，

两式相减得：，----10分

，

∴弦AB的斜率，12分

∴弦AB的直线方程为，即。???13分

21（13分）. 解：（Ⅰ），???1分

，???2分

故函数在区间、上单调递增，

在上单调递减。???4分

（Ⅱ）∵二次函数有最大值，。???5分

由得，???6分

∵函数与的图象只有一个公共点，

。

又，。???7分

又，。???8分

（Ⅲ）当时，函数在区间、上单调递增，

函数在区间上单调递增。

，解得。???10分

当时，函数在区间、上单调递增，

函数在区间上单调递增。

，解得。???12分

综上所述，实数的取值范围是。???13分