.故....即.---.. 2分 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知数列的前项和为,且 (N*),其中

(Ⅰ) 求的通项公式;

(Ⅱ) 设 (N*).

①证明:

② 求证:.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式,表示通项公式,然后得到第一问,第二问中利用放缩法得到,②由于

所以利用放缩法,从此得到结论。

解:(Ⅰ)当时,由.  ……2分

若存在

从而有,与矛盾,所以.

从而由.  ……6分

 (Ⅱ)①证明:

证法一:∵

 

.…………10分

证法二:,下同证法一.           ……10分

证法三:(利用对偶式)设

.又,也即,所以,也即,又因为,所以.即

                    ………10分

证法四:(数学归纳法)①当时, ,命题成立;

   ②假设时,命题成立,即,

   则当时,

    即

故当时,命题成立.

综上可知,对一切非零自然数,不等式②成立.           ………………10分

②由于

所以

从而.

也即

 

查看答案和解析>>

已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的实数x只有一个.

(1)求函数f(x)的表达式;

(2)若数列{an}满足a1,an+1=f(an),bn-1,n∈N*,证明数列{bn}是等比数列,并求出{bn}的通项公式;

(3)在(2)的条件下,证明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*).

【解析】解: (1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1.

由f(x)=2x只有一解,即=2x,

也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,

∴b=-1.∴a=-1.故f(x)=.…………………………………………4分

(2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn-1, ∴

∴{bn}为等比数列,q=.又∵a1,∴b1-1=

bn=b1qn-1n-1n(n∈N*).……………………………9分

(3)证明:∵anbn=an=1-an=1-

∴a1b1+a2b2+…+anbn+…+<+…+

=1-<1(n∈N*).

 

查看答案和解析>>


精英家教网
由2x+1>42-x,得2x+1>22(2-x)
解得x+1>2(2-x),即x>1,
所以a=2.
即方程(1-|2x-1|)=ax-1为(1-|2x-1|)=2x-1,
所以2-|2x-1|=2x
设y=2-|2x-1|,y=2x
分别在坐标系中作出两个函数的图象,由图象可知两函数的交点个数为2个.
即方程(1-|2x-1|)=ax-1实数根的个数为2个.
故选C.

查看答案和解析>>

设椭圆 )的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点,离心率 ,过椭圆右焦点 的直线  与椭圆 交于 , 两点.

(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在直线 ,使得 ,若存在,求出直线  的方程;若不存在,说明理由;

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解,以及直线与椭圆的位置关系的运用。(1)中椭圆的顶点为,即又因为,得到,然后求解得到椭圆方程(2)中,对直线分为两种情况讨论,当直线斜率存在时,当直线斜率不存在时,联立方程组,结合得到结论。

解:(1)椭圆的顶点为,即

,解得椭圆的标准方程为 --------4分

(2)由题可知,直线与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.                    --------5分

②当直线斜率存在时,设存在直线,且.

,       ----------7分

,               

   = 

所以,                               ----------10分

故直线的方程为 

 

查看答案和解析>>

已知递增等差数列满足:,且成等比数列.

(1)求数列的通项公式

(2)若不等式对任意恒成立,试猜想出实数的最小值,并证明.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中,利用设数列公差为

由题意可知,即,解得d,得到通项公式,第二问中,不等式等价于,利用当时,;当时,;而,所以猜想,的最小值为然后加以证明即可。

解:(1)设数列公差为,由题意可知,即

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等价于

时,;当时,

,所以猜想,的最小值为.     …………8分

下证不等式对任意恒成立.

方法一:数学归纳法.

时,,成立.

假设当时,不等式成立,

时,, …………10分

只要证  ,只要证 

只要证  ,只要证 

只要证  ,显然成立.所以,对任意,不等式恒成立.…14分

方法二:单调性证明.

要证 

只要证  ,  

设数列的通项公式,        …………10分

,    …………12分

所以对,都有,可知数列为单调递减数列.

,所以恒成立,

的最小值为

 

查看答案和解析>>


同步练习册答案