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题目列表(包括答案和解析)

已知球O的半径为1,P、A、B、C四点都在球面上,PA⊥面ABC,AB=AC,∠BAC=90°.
(I)证明:BA⊥面PAC;
(II)若AP=,求二面角O-AC-B的大小.

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已知球O的半径为1,P、A、B、C四点都在球面上,PA⊥面ABC,AB=AC,∠BAC=90°.
(I)证明:BA⊥面PAC;
(II)若AP=,求二面角O-AC-B的大小.

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(2009•昆明模拟)已知球O的半径为1,P、A、B、C四点都在球面上,PA⊥面ABC,AB=AC,∠BAC=90°.
(I)证明:BA⊥面PAC;
(II)若AP=
2
,求二面角O-AC-B的大小.

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一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

1―6AABCBD   7―12ACDCBD

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。

13.60°  14.-8  15.    16.6

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

   (I)解:因为

       由正弦定理得

       所以

       又

       故   5分

   (II)由

       故

          10分

18.(本小题满分12分)

   (I)解:当

       故   1分

       因为   当

       当

       故上单调递减。   5分

   (II)解:由题意知上恒成立,

       即上恒成立。   7分

       令

       因为   9分       

       故上恒成立等价于

          11分

       解得   12分

19.(本小题满分12分)

   (I)证明:

          2分

       又

   (II)方法一

       解:过O作

      

       则O1是ABC截面圆的圆心,且BC是直径,

       过O作于M,则M为PA的中点,

       连结O1A,则四边形MAO1O为矩形,

          8分

       过O作于E,连EO1­,

       则为二面角O―AC―B的平面角   10分

       在

      

       在

       所以二面角O―AC―B的大小为   12分

       方法二

       同上,   8分

      

      

      

       设面OAC的法向量为

      

       得

       故

       所以二面角O―AC―B的大小为   12分

20.(本小题满分12分)

   (I)解:设次将球击破,

    则   5分

   (II)解:对于方案甲,积分卡剩余点数

       由已知可得

      

      

      

       故

       故   8分

       对于方案乙,积分卡剩余点数

       由已知可得

      

      

      

      

       故

       故   11分

       故

       所以选择方案甲积分卡剩余点数最多     12分

21.(本小题满分12分)

       解:依题意设抛物线方程为

       直线

       则的方程为

      

       因为

       即

       故

   (I)若

      

       故点B的坐标为

       所以直线   5分

   (II)联立

      

       则

       又   7分

       故   9分

       因为成等差数列,

       所以

       故

       将代入上式得

       。   12分

22.(本小题满分12分)

   (I)解:

       又

       故   2分

       而

       当

       故为增函数。

       所以的最小值为0   4分

   (II)用数学归纳法证明:

       ①当

       又

       所以为增函数,即

       则

       所以成立       6分

       ②假设当成立,

       那么当

       又为增函数,

      

       则成立。

       由①②知,成立   8分

   (III)证明:由(II)

       得

       故   10分

       则

      

       所以成立   12分

 

 

 

 

 


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