.平面的一个法向量为= 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知四棱锥的底面为直角梯形,底面,且的中点。

(1)证明:面

(2)求所成的角;

(3)求面与面所成二面角的余弦值.

【解析】(1)利用面面垂直的性质,证明CD⊥平面PAD.

(2)建立空间直角坐标系,写出向量的坐标,然后由向量的夹角公式求得余弦值,从而得所成角的大小.

(3)分别求出平面的法向量和面的一个法向量,然后求出两法向量的夹角即可.

 

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在四棱锥中,平面,底面为矩形,.

(Ⅰ)当时,求证:

(Ⅱ)若边上有且只有一个点,使得,求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时,底面ABCD为正方形,

又因为,………………2分

,得证。

第二问,建立空间直角坐标系,则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》

要使,只要

所以,即………6分

由此可知时,存在点Q使得

当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得

由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解:(Ⅰ)当时,底面ABCD为正方形,

又因为,………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直,分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系,如图所示,

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要

所以,即………6分

由此可知时,存在点Q使得

当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

 

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