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题目列表(包括答案和解析)

(理)如图a所示,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°<θ<90°),且sinθ=,点P到平面α的距离PH=0.4(km).沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用.从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改建费用为万元/km.当山坡上公路长度为l km(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a万元已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km),OA=(km).

(1)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小;

(2)对于(1)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小;

(3)在AB上是否存在两个不同的点D′,E′,使沿折线.PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价?证明你的结论.

a)

第19题图

(文)如图b所示,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC=90°,△ABC为等边三角形,且AA1=AD=DC=2.

(1)求AC1与BC所成角的余弦值;

(2)求二面角C1-BD-C的大小;

(3)设M是BD上的点,当DM为何值时,D1M⊥平面A1C1D?并证明你的结论.

第19题图

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证明函数f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒为正数.

分析:可对x的所有不同取值逐一给出证明,即完全归纳推理.

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某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N)”的过程如下:

证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设n=k时有<k+1,那么当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的,由(1)(2)可知对于n∈N,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于(    )

A.当n=1时,验证过程不具体

B.归纳假设的写法不正确

C.从k到k+1的推理不严密

D.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设

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某同学用《几何画板》研究抛物线的性质:打开《几何画板》软件,绘制某抛物线,在抛物线上任意画一个点,度量点的坐标,如图.

(Ⅰ)拖动点,发现当时,,试求抛物线的方程;

(Ⅱ)设抛物线的顶点为,焦点为,构造直线交抛物线于不同两点,构造直线分别交准线于两点,构造直线.经观察得:沿着抛物线,无论怎样拖动点,恒有.请你证明这一结论.

(Ⅲ)为进一步研究该抛物线的性质,某同学进行了下面的尝试:在(Ⅱ)中,把“焦点”改变为其它“定点”,其余条件不变,发现“不再平行”.是否可以适当更改(Ⅱ)中的其它条件,使得仍有“”成立?如果可以,请写出相应的正确命题;否则,说明理由.

 

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某同学用《几何画板》研究抛物线的性质:打开《几何画板》软件,绘制某抛物线,在抛物线上任意画一个点,度量点的坐标,如图.

(Ⅰ)拖动点,发现当时,,试求抛物线的方程;
(Ⅱ)设抛物线的顶点为,焦点为,构造直线交抛物线于不同两点,构造直线分别交准线于两点,构造直线.经观察得:沿着抛物线,无论怎样拖动点,恒有.请你证明这一结论.
(Ⅲ)为进一步研究该抛物线的性质,某同学进行了下面的尝试:在(Ⅱ)中,把“焦点”改变为其它“定点”,其余条件不变,发现“不再平行”.是否可以适当更改(Ⅱ)中的其它条件,使得仍有“”成立?如果可以,请写出相应的正确命题;否则,说明理由.

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