题目列表(包括答案和解析)
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依题意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)设切点为(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切线过点A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．
∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2
画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范围是(－6,2)．
一、选择题：1、A2、A3、B4、B5、C6、D7、B8、D9、D10、A
二、填空题：11、1000 12、
13、三条侧棱
、
、
两两互相垂直的三棱锥
中，
，则此三棱锥的外接球半径为
14、（1）8 （2）
三、解答题：
15、（1）∵
， ∴
， ………（2分）
∴
，（ 4分）
，………（6分）
∴
或
所求解集为
………（8分）
（2）∵
∴
………（10分）
∴
………（12分）
求
的周期为
，
递增区间
16、解：解析：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且
，
，
(1)连结
，
。
由直三棱柱的性质得
平面
，所以
，则
四边形
为矩形．
由矩形性质得，过
的中点
在
中，由中位线性质，得
，
又
平面
，
平面，
所以
平面。 (6分)
(2)因为
平面，平面，所以
，
在正方形：中，
。
又因为
，所以
平面
．
由
，得
平面． (14分)
17、解：（1）由题意知
，
∴
由
，可得
(6分)
（2）当
时，∵
∴
，两式相减得
∴
为常数，
∴
，
，
，…，
成等比数列。
其中
，∴
………（12分）
18、解：设二次函数
，则
,解得
∴
将
代入上式：
而
对于，由已知，得：
,解得
∴
将代入：
而4月份的实际产量为万件，相比之下，1.35比1.3更接近1.37.
∴选用函数作模型函数较好.
19、（1）
………（2分）
（1）由题意；
，解得
，
∴所求的解析式为
………（6分）
（2）由（1）可得
令
，得 
或
， ………（8分）
∴当
时， 
，当
时， 
，当
时，
因此，当时， 
有极大值
，………（8分）
当时， 有极小值
，………（10分）
∴函数的图象大致如图。
由图可知：
。………（14分）
20、解：（1）直线
与
轴垂直时与抛物线交于一点,不满足题意.
设直线的方程为
,代入
得,
设
、
、
则
,且
，即
或
.
∴
，
为
的中点.
∴
∴
由或得
或
.由在
轴右侧得.
轨迹
的方程为
.
（2）∵曲线
的方程为。
∴
∴ 
，
，
且
∴
又
，
，
∴
，
∴
，∴
∴
的取值范围为
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