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已知A，B，C是平面上不共线的三点，o为平面ABC内任一点，动点P满足等式且λ≠1，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．内心
B．垂心
C．重心
D．外心

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

D

B

C

B

C

A

C

A

B

C

D

二、填空题

13. 192     14. 15      15.     16. ②③⑤

三、解答题

17. 解：（Ⅰ）设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a, b, c，

∵，∴，由正弦定理有,………………3分

又由余弦定理有，∴，即，

所以为Rt，且. ………………6分

（Ⅱ）又， 令a=4k, b=3k (k>0). ………………8分

则，∴三边长分别为a=4，b=3，c=5. ………………10分

18. （Ⅰ）如图，首先从五种不同颜色的鲜花中任选四种共种，

用四种颜色鲜花布置可分两种情况：区域A、D同色和区域B、E同色，

皆有种，………………3分

故恰用四种不同颜色的鲜花布置的不同摆放方案共有种. ………………6分

（Ⅱ）设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，

如图，当区域A、D同色时，共有种；

当区域A、D不同色时，共有种；

因此，所有基本事件总数为：180+240=420种. ………………8分

它们是等可能的.又因为A、D为红色时，共有种；

B、E为红色时，共有种；

因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种．………………10分

所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率=．………………12分

19. （Ⅰ）延长至M，使，连，则，连，则或其补角就是异面直线与所成角（设为），………………2分

不妨设AA₁=AB=1，则在中，，

所以

故异面直线与所成角的余弦值为.………………6分

   （Ⅱ）是正三棱柱，平面，

   平面，平面平面，

   过点作于点，则平面，

过作于，由三垂线定理得，

故∠为二面角的平面角. ………………9分

不妨设AA₁=AB=2，

则，在△中，.

    二面角的正弦值为.………………12分

20. 解：（Ⅰ）由已知，当时，   ……………… 2分

.     经检验时也成立. ………………4分

由，得，∴p＝.

∴ .……………… 6分

（Ⅱ）由（1）得，.       ……………… 7分

2  ；              ①

.    ②   ………………9分

②－①得，

＝＝.       ………………12分

21. 解：（Ⅰ）f′(x)=3ax²+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，………………2分

        即   解得a=1，b=0.∴f(x)=x³－3x. ………………4分

   （Ⅱ）f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

         ∵曲线方程为y=x³－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.

设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足

因，故切线的斜率为，

整理得.………………7分

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x₀的方程=0有三个实根.

设g(x­₀)= ，则g′(x₀)=6，

由g′(x₀)=0，得x₀=0或x₀­=1. ………………9分

∴g(x₀)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

∴函数g(x₀)= 的极值点为x₀=0，x₀=1.

∴关于x₀方程=0有三个实根的充要条件是

解得－3<m<－2.

故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2. ………………12分

22. 解：（Ⅰ）∵，

设O关于直线 的对称点为的横坐标为 ，………………2分

又直线得线段的中点坐标（1，－3）.

∴，

∴椭圆方程为.………………5分

（Ⅱ）设点，当直线l的斜率存在时，

则直线l的方程为，………6分

代入得：

, ……①

又 ，①可化为：

,………………8分

由已知，有

，

∵………………10分

同理

解得 ，

∴……………………11分

故直线ME垂直于x轴，由椭圆的对称性知点M、E关于x轴对称，而点B在x轴上，

∴|BM|=|BE|，即△BME为等腰三角形. 

当直线l的斜率不存在时，结论显然成立.……………………12分