已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知圆M：（x-m）²+（y-n）²=γ²及定点N（1，0），点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
（Ⅰ）若m=-1，n=0，r=4，求点G的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若动圆M和（Ⅰ）中所求轨迹C相交于不同两点A、B，是否存在一组正实数m，n，r使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（II）若a=2，b=1，若函数k=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围；
（III）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于M、N两点，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

3

，过A作AE⊥CD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面CDE；
（Ⅱ）求证：FG∥平面BCD；
（Ⅲ）在线段AE上找一点R，使得面BDR⊥面DCB，并说明理由．

已知抛物线C：y=mx²（m＞0），焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，
（1）若抛物线C上有一点R（x_R，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值；
（2）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．