题目列表(包括答案和解析)
四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.
(1)求该四面体的体积的最大值；
(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．
四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.
(1)求该四面体的体积的最大值；
(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．
1～10：C C B C A B A B D A
11、
12、
13、 
14、>
15、
（提示：15.
，又
）
16.解：（1）
………3（分）
由
=0即
即对称中心为
…………6（分）
（2）已知b2=ac
即
的值域为
综上所述，
，故值域为…12（分）
17．解：（1）
的最大值为6，此时有
或
，故所求的概率为
.
…………5（分）
（2）
的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6.其分布列为：
0
1
2
3
4
5
6
……………10（分）
……12（分）
18.解：（1）
，
又
…………5（分）
（2）当
时，则
其表面积
当
与
不垂直时，则
，否则由（1）知，可得（矛盾）.
当
时，
与
不能垂直，否则
，从而
，与
矛盾.
，从而可得
…………①
由得，
…………②
根据①、②得：
，从而导致
矛盾.
，从而得到
当时，
当时，
，即四面体的各个面是全等的三角形.
其表面积为
.
……………12（分）
19.解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
…………（3分）
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且
时，每年年初鱼群的总量保持不变.
……（6分）
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*， 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1，而x1∈(0, 2)，所以
由此猜测b的最大允许值是1. ……………（10分）
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b最大允许值是1.…（13分）
20. 解：(1)设双曲线方程为
，由椭圆
求得两焦点为
，
对于双曲线
，又
为双曲线
的一条渐近线
解得 
，
双曲线的方程为
……………（5分）
(2)解法一：
由题意知直线
的斜率
存在且不等于零。
设的方程：
，
则
在双曲线上，
同理有：
若
则直线过顶点，不合题意.
是二次方程
的两根.
，
此时
.所求
的坐标为
.
…………（13分）
解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：
，则.
，
.
，
，
，
又
，
，即
将
代入得
，否则与渐近线平行。
。
.
21.（1）
故
在
上是单调递增函数，在
上是单调递减函数
……4（分）
（2）①
是公差为1的等差数列，且首项为
故
……………9（分）
②由（1）知，当
时，
在
是单调递减函数，又
，
，即
.
………13（分）
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