题目列表(包括答案和解析)
如图，在棱长为1的正方体
中，
、
、
分别是棱
、
、
的中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求点
到平面
的距离；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
如图，在棱长为1的正方体
中，
、
分别为
和
的中点．
（1）求异面直线
和
所成的角的余弦值；
（2）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值；
（3）若点
在正方形
内部或其边界上，且
平面
，求
的最大值、最小值．
中，
、
分别为
和
的中点．
和
所成的角的余弦值；
与
平面所成的锐二面角的余弦值；
中，
、
、
分别是棱
、
、
的中点．
；
到平面
的距离；
的大小．如图，在棱长为1的正方体
中，
是侧棱
上的一点，
。
（Ⅰ）、试确定
，使直线
与平面
所成角的正切值为
；
（Ⅱ）、在线段
上是否存在一个定点
，使得对任意的，
在平面
上的射影垂直于，并证明你的结论。
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．
2．1 3．－2 4．
5． （1）（2）
6． 4 7．甲 8．
9．9 10．
11．－2
12．
13．2 14． 2
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）
15．（本小题满分14分）
解：（1）∵
∴
…………………………………………5分
（2）∵
∴
…………………………………………7分
……………………………………9分
或
或7
………………………………14分
16．（本小题满分14分）
(1)证明：E、P分别为AC、A′C的中点，
EP∥A′A，又A′A
平面AA′B，EP
平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB …………………………………………5分
(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC
BC平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………9分
(3)证明：在△A′EC中，P为A′C的中点，∴EP⊥A′C，
在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C
由(2)知：BC⊥平面A′EC 又A′A平面A′EC
∴BC⊥AA′
∴A′A⊥平面A′BC …………………………………………14分
17．（本小题满分15分）
解：（1）取弦的中点为M，连结OM
由平面几何知识，OM=1
…………………………………………3分
解得：
，
………………………………………5分
∵直线过F、B ，∴
则
…………………………………………6分
（2）设弦的中点为M，连结OM
则
……………………………………9分
解得
…………………………………………11分
∴
…………………………………………15分
（本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得）
18．（本小题满分15分）
（1）延长BD、CE交于A，则AD=
，AE=2
则S△ADE= S△BDE= S△BCE=
∵S△APQ=，∴
∴
…………………………………………7分
（2）
=
?
…………………………………………12分
当
，
即
， 
…………………………………………15分
19．（本小题满分16分）
解（1）证：
由
得
在
上点
处的切线为
，即
又在
上点处切线可计算得，即
∴直线
与、都相切，且切于同一点（
） …………………5分
（2）
…………………7分
∴
在
上递增
∴当
时
……………10分
（3）
设上式为
，假设
取正实数，则
?
当
时，
，
递减；
当
，
，递增． ……………………………………12分
∴不存在正整数，使得
即
…………………………………………16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）
，
，
对一切
恒成立
的最小值，又
，
…………………………………………4分
（2）
这5个数中成等比且公比的三数只能为
只能是
，
…………………………8分
，
显然成立
……………………………………12分
当
时，
，
使不等式成立的自然数n恰有4个的正整数p值为3
……………………………………………16分
泰州市2008～2009学年度第二学期期初联考
高三数学试题参考答案
附加题部分
21．（选做题）（从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．）
A．解：(1)
∴
∴AB=CD ……………………………………4分
（2）由相交弦定理得
2×1=(3+OP)(3-OP)
∴
，∴
……………………………………10分
B．解：依题设有：
………………………………………4分
令
，则
…………………………………………5分
…………………………………………7分
………………………………10分
C．解：以有点为原点，极轴为
轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）
，
，由
得
．
所以
．
即
为圆
的直角坐标方程． ……………………………………3分
同理
为圆
的直角坐标方程． ……………………………………6分
（2）由
相减得过交点的直线的直角坐标方程为
． …………………………10分
D．证明：（1）因为
所以
…………………………………………4分
（2）∵
…………………………………………6分
同理，
，
……………………………………8分
三式相加即得
……………………………10分
22．（必做题）（本小题满分10分）
解：（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的
, 则其概率为
…………………………………………4分
答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为
（2）随机变量
……………………5分
…………………………6分
………………………………7分
∴随机变量
的分布列为
2
3
4
P
∴
…………………………10分
23．（必做题）（本小题满分10分）
（1）
，
，
，
，
……………………………………3分
（2）平面BDD1的一个法向量为
设平面BFC1的法向量为
∴
取
得平面BFC1的一个法向量
∴所求的余弦值为
……………………………………6分
（3）设
（
）
，由
得
即
，
当
时，
当
时，∴
……………………………………10分
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