在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a(0＜a＜

2

)．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中θ∈(0，

π

2

]


（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90⁰且a=

2

2

．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

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在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中
（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90且．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

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在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中
（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90且．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

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已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁中底面边长和侧棱长均为a，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=.

(1)求异面直线AC与BC₁所成角的余弦值；

(2)求证：A₁B⊥面AB₁C.

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已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁中底面边长和侧棱长均为a，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=.

(1)求异面直线AC与BC₁所成角的余弦值；

(2)求证：A₁B⊥面AB₁C.

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一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

1．       2．1    3．－2     4．      5． （1）（2）

6． 4    7．甲       8．    9．9      10．

11．－2       12．       13．2       14． 2

二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）

15．（本小题满分14分）

解：（1）∵

∴        …………………………………………5分

（2）∵∴

…………………………………………7分

         ……………………………………9分

或或7                   ………………………………14分

16．（本小题满分14分）

(1)证明：E、P分别为AC、A′C的中点，

        EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B

       ∴即EP∥平面A′FB                  …………………………………………5分

(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC

   ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC

     BC平面A′BC

   ∴平面A′BC⊥平面A′EC             …………………………………………9分

(3)证明：在△A′EC中，P为A′C的中点，∴EP⊥A′C，

  在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C

      由(2)知：BC⊥平面A′EC   又A′A平面A′EC

      ∴BC⊥AA′

      ∴A′A⊥平面A′BC                   …………………………………………14分

17．（本小题满分15分）

解：（1）取弦的中点为M，连结OM

由平面几何知识，OM=1

                   …………………………………………3分

解得：，               ………………………………………5分

∵直线过F、B ，∴则     …………………………………………6分

（2）设弦的中点为M，连结OM

则

              ……………………………………9分

解得                       …………………………………………11分

∴                    …………………………………………15分

（本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得）

18．（本小题满分15分）

（1）延长BD、CE交于A，则AD=，AE=2

     则S_△ADE= S_△BDE= S_△BCE=

      ∵S_△APQ=，∴

      ∴             …………………………………………7分

（2）

          =?

…………………………………………12分

    当，

即，            

…………………………………………15分

19．（本小题满分16分）

解（1）证：       由  得

在上点处的切线为，即

又在上点处切线可计算得，即

∴直线与、都相切，且切于同一点（）      …………………5分

（2）

      …………………7分

   ∴在上递增

   ∴当时……………10分

（3）

设上式为 ，假设取正实数，则?

当时，，递减；

当，，递增． ……………………………………12分

∴不存在正整数，使得

即                  …………………………………………16分

20．（本小题满分16分）

解：（1），

，对一切恒成立

的最小值，又 ，

                       …………………………………………4分

（2）这5个数中成等比且公比的三数只能为

只能是，

      …………………………8分

，显然成立             ……………………………………12分

当时，，

使不等式成立的自然数n恰有4个的正整数p值为3

                          ……………………………………………16分

泰州市2008～2009学年度第二学期期初联考

高三数学试题参考答案

附加题部分

21．（选做题）（从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．）

A．解：(1)

∴

∴AB=CD                            ……………………………………4分

（2）由相交弦定理得

2×1=(3+OP)(3-OP)

∴，∴               ……………………………………10分

B．解：依题设有：     ………………………………………4分

 令，则           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

C．解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1），，由得．

所以．

即为圆的直角坐标方程．  ……………………………………3分

同理为圆的直角坐标方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相减得过交点的直线的直角坐标方程为． …………………………10分

D．证明：（1）因为

    所以          …………………………………………4分

    （2）∵   …………………………………………6分

    同理，，……………………………………8分

    三式相加即得……………………………10分

22．（必做题）（本小题满分10分）

解：（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的, 则其概率为                …………………………………………4分

    答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为

（2）随机变量

                        ……………………5分

                   …………………………6分

                  ………………………………7分

∴随机变量的分布列为

2

3

4

P

∴                    …………………………10分

23．（必做题）（本小题满分10分）

（1），，，

，

              ……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一个法向量为

设平面BFC₁的法向量为

∴

取得平面BFC₁的一个法向量

∴所求的余弦值为                     ……………………………………6分

（3）设（）

，由得

即，

当时，

当时，∴   ……………………………………10分