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2013年4月20日8点02分四川省雅安市芦山县（北纬30.3度，东经103.0度）
发生7.0级地震，此次地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治．医疗队首先到达O点，设有四个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D，为了救灾及灾后实际重建需要．需要修建三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，AB=50千米，BC=25

3

千米且∠EOF=90°，如图所示．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每千米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

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我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄（单位：岁）分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）请根据频率分布直方图，估计这100名志愿者样本的平均数；
（3）在（1）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
（参考数据：22.5×0.01+27.5×0.07+32.5×0.06+37.5×0.04+42.5×0.02=6.45）

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一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

1．；  2．；   3．；  4．；  5． 11；  6． 210； 7． 16；   8． 3；  9．； 10．； 11． 7； 12．； 13．；  14．（结果为，不扣分）.

二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）

15．（本小题满分14分）

解：（1）50；0.04；0.10 ．    ………… 6分

       （2）如图．      ……………… 10分

       （3）在随机抽取的名同学中有名

出线,．      …………… 13分

答：在参加的名中大概有63名同学出线．      

   ………………… 14分

16．（本小题满分14分）

解：真，则有，即．                    ------------------4分

真，则有，即．     ----------------9分

若、中有且只有一个为真命题，则、一真一假．

①若真、假，则，且，即≤；   ----------------11分

②若假、真，则，且，即3≤．    ----------------13分

故所求范围为：≤或3≤．                          -----------------14分

17．（本小题满分15分）

解：（1）设在（1）的条件下方程有实根为事件．

数对共有对．                                   ------------------2分

若方程有实根，则≥，即．                 -----------------4分

则使方程有实根的数对有 共对．                                                         ------------------6分

所以方程有实根的概率．                          ------------------8分

（2）设在（2）的条件下方程有实根为事件．

，所以．

-------------10分

方程有实根对应区域为，．          --------------12分

所以方程有实根的概率．------------------15分

18．（本小题满分15分）

解：（1）易得

．当时，在直角中，，故．所以，．     ------------4分

所以．

所以异面直线与所成角余弦值为．- -----7分

（2）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为.

则由．得可取，-------11分

， ，------------13分

，，． ，．

即直线与平面所成角的取值范围为．         ------------------------15分

19．（本小题满分16分）

解：（1）设关于l的对称点为，则且，

解得，，即，故直线的方程为．

由，解得．                       ------------------------5分

（2）因为，根据椭圆定义，得

，所以．又，所以．所以椭圆的方程为．                                        ------------------------10分

（3）假设存在两定点为，使得对于椭圆上任意一点（除长轴两端点）都有（为定值），即?，将代入并整理得…（＊）．由题意，（＊）式对任意恒成立，所以，解之得 或．

所以有且只有两定点，使得为定值．   ---------------16分

20．（本小题满分16分）

解：（1）．                        ------------------------2分

因为，令得；令得．所以函数的增区间为，减区间为．                                           ------------------------5分

（2）因为，设，则．----------6分

设切点为，则切线的斜率为，切线方程为即，由点在切线上知，化简得，即．

所以仅可作一条切线，方程是．              ------------------------9分

（3），．                  

在上恒成立在上的最小值．--------------11分

①当时，在上单调递减，在上最小值为，不符合题意，故舍去；               ------------------------12分

②当时，令得．

当时，即时，函数在上递增，的最小值为；解得．                                       ------------------------13分

当时，即时，函数在上递减，的最小值为，无解；                                                -----------------------14分

当时，即时，函数在上递减、在上递增，所以的最小值为，无解．                ------------------------15分

综上，所求的取值范围为．                     ------------------------16分