题目列表(包括答案和解析)
设函数.
(I)求的单调区间;
(II)当0<a<2时,求函数在区间
上的最小值.
【解析】第一问定义域为真数大于零,得到.
.
令,则
,所以
或
,得到结论。
第二问中, (
).
.
因为0<a<2,所以,
.令
可得
.
对参数讨论的得到最值。
所以函数在
上为减函数,在
上为增函数.
(I)定义域为. ………………………1分
.
令,则
,所以
或
. ……………………3分
因为定义域为,所以
.
令,则
,所以
.
因为定义域为,所以
. ………………………5分
所以函数的单调递增区间为,
单调递减区间为.
………………………7分
(II) (
).
.
因为0<a<2,所以,
.令
可得
.…………9分
所以函数在
上为减函数,在
上为增函数.
①当,即
时,
在区间上,
在
上为减函数,在
上为增函数.
所以. ………………………10分
②当,即
时,
在区间
上为减函数.
所以.
综上所述,当时,
;
当时,
若函数在定义域内存在区间
,满足
在
上的值域为
,则称这样的函数
为“优美函数”.
(Ⅰ)判断函数是否为“优美函数”?若是,求出
;若不是,说明理由;
(Ⅱ)若函数为“优美函数”,求实数
的取值范围.
【解析】第一问中,利用定义,判定由题意得,由
,所以
第二问中, 由题意得方程有两实根
设所以关于m的方程
在
有两实根,
即函数与函数
的图像在
上有两个不同交点,从而得到t的范围。
解(I)由题意得,由
,所以
(6分)
(II)由题意得方程有两实根
设所以关于m的方程
在
有两实根,
即函数与函数
的图像在
上有两个不同交点。
已知函数
(I)讨论在其定义域上的单调性;
(II)当时,若关于x的方程
恰有两个不等实根,求实数k的取值范围。
已知函数
(I)判断函数上的单调性,并求出
的值;
(II)求函数的单调区间及其在定义域上的最小值;
(III)是否存在实数m,n,满足,使得函数
的值域也有[m,n]?并说明理由。
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
1―5 BCBAB 6―10 DCCCD 11―12 DB
二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分。
13. 14.
15.1:2 16.①②⑤
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