题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分14分)
甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2, 红桃3, 红桃4, 方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（Ⅰ)设
分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况．
（Ⅱ)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（Ⅲ）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
(本小题满分14分)
甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2, 红桃3, 红桃4, 方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（Ⅰ)设
分别表示甲、乙抽到的牌的数字
，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况．
（Ⅱ)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（Ⅲ）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（07年安徽卷）（本小题满分14分）
某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后第年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为n(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：Tn=An+Bn，其中
是一个等比数列，
是一个等差数列.
（07年安徽卷）（本小题满分14分）
如图,在六面体
中,四边形ABCD是边
长为2的正方形,四边形
是边长为1的正方
形,
平面,平面ABCD,
求证: (Ⅰ)
与
共面，
与
共面．
(Ⅱ)求证:平面
(Ⅲ)求二面角
的大小(用反三角函数值表示).
第(17)题图
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．A 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．B 8．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．－
10．5 11．2，
12．12 13．26 14．－
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x+2
sinxcosx+1＝sin2x+cos2x+1
＝2sin
+1. ……………………………………………5分
因此f（x）的最小正周期为
，最小值为－1．……………………………7分
（Ⅱ）由f（
）＝2得2 sin
+1＝2，即sin＝． ………9分
而由∈
得2+
∈
．……………………………10分
故2+＝
．…………………………………………………………12分
解得＝
． ………………………………………………………………13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为
，还有一道题答对的概率为
，所以得40分的概率为
P＝×××＝
． ………………………………………………5分
（Ⅱ）依题意，该考生得分
的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，故求概率为P（＝20）＝××
×
＝
；
同样可求得得分为25分的概率为
P（＝25）＝
××××+×××+×××＝
；
得分为30分的概率为P（＝30）＝；
得分为35分的概率为，P（＝35）＝
；
得分为40分的概率为P（＝40）＝．
于是的分布列为
20
25
30
35
40
P
………………………………………………………………………………11分
故E＝20×+25×+30×+35×+40×＝
．
该考生所得分数的数学期望为 ………………………………………13分
17．（本小题满分14分）
解法一：
（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1
底面
ABC，BC1在底面上的射影为CB．
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．
所以ACBC1………………………4分
（Ⅱ）过C作CEAB于E，连结C1E．
由CC1底面ABC可得C1EAB．
故∠CEC1为二面角C1－AB－C的平面角．
在
ABC中，CE＝
，
在RtCC1E中，tanC1EC＝
＝
，
故所求二面角的大小为arctan．……9分
（Ⅲ）存在点D使AC1∥平面CDB1，且D为AB中点，下面给出证明．
设BC1与CB1交于点O，则O为BC1中点．连接OD．
在△ABC1中，D，O分别为AB，BC1的中点，故OD为△ABC1的中位线，
∴OD∥AC1，又AC1
平面CDB1，OD
平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
故存在点D为AB中点，使AC1∥平面CDB1． ………………………………14分
解法二：
∵直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC，BC，CC1两两垂直．如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则
C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
（Ⅰ）∵
＝（－3，0，0），
＝（0，－4，4），
∴?＝0，故ACBC1 ………………………………………………4分
（Ⅱ）平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1），设平面C1AB的一个法向量为
n＝（x0，y0，z0），
＝（－3，0，4），
＝（－3，4，0）．
由
得
令x0＝4，则z0＝3，y0＝3．
则n＝（4，3，3）．
故cos＜m，n＞＝
＝
．
所求二面角的大小为arccos. ………………………………………9分
（Ⅲ）同解法一 ………………………………………………………………………4分
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题意有，f ′（x）＝a+
．……………………………………………3分
因此过（1，f（1））点的直线的斜率为a－1，又f（1）＝a，
所以，过（1，f（1））点的直线方程为y－a＝（a－1）（x－1）．…………4分
又已知圆的圆心为（－1，0），半径为1，依题意，
＝1．
解得a＝1． …………………………………………………………………6分
（Ⅱ）f ′（x）＝a+.
因为a＞0，所以2－
＜2，又由已知x＜2．………………………………9分
令f ′（x）＞0，解得x＜2－，令f ′（x）＜0，解得2－＜x＜2． …11分
所以，f（x）的单调增区间是
，
f（x）的单调减区间是
．………………………………………13分
19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为（0，－
），故设椭圆方程为
+
＝1．
将点A（1，）代入方程得
+
＝1，整理得a4－5a2+4＝0，
解得a2＝4或a2＝1（舍）．
故所求椭圆方程为
+
＝1． …………………………………………6分
（Ⅱ）设直线BC的方程为y＝x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2），
代入椭圆方程并化简得4x2+2mx+m2－4＝0， …………………………9分
由＝8m2－16（m2－4）＝8（8－m2）＞0，可得m2＜8．
由x1+x2＝-
m，x1x2＝
，
故
＝
＝
．
又点A到BC的距离为d＝
， …………………………………………11分
故
＝?d＝
≤
?
＝，
当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号（满足＞0）
所以△ABC面积的最大值为． ………………………………………13分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）依题意有yn＝
+
，于是yn+1－yn＝．
所以数列
是等差数列． ………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意得
＝n，即xn+xn+1＝2n，（n∈N*）①
所以又有xn+2+ xn+1＝2（n+1）． ②……………………6分
由②－①得xn+2－xn＝2，可知x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．那么得
x2k－1＝x1+2（k－1）＝2k+a－2，
x2k＝x2+2（k－1）＝2－a+2（k－1）＝2k－a．（k∈N*）
故xn＝
……………………………………………10分
（Ⅲ）当n为奇数时，An（n+a－1，0），An+1（n+1－a，0），所以
＝2（1－a）；
当n为偶数时，An（n－a，0）An+1（n+a，0），所以＝2a；
作BnCnx轴，垂足为Cn，则
＝+，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只需＝2.
当n为奇数时，有2（1－a）＝2
，即12a＝11－3n． ①
当n＝1时，a＝；当n＝3时，a＝
；当n≥5时，①式无解．
当n为偶数时，有12a＝3n+1，同理可求得a＝
．
综上所述，上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形，此时a的值为或 或. ………………………………………………………………………14分
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