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已知点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直线上，点A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N^*，点A_n，B_n，A_n+1构成以∠B_n为顶角的等腰三角形，设△A_nB_nA_n+1的面积为S_n，
（1）证明：数列{y_n}是等差数列；
（2）求S_2n-1（用a和n的代数式表示）；
（3）设数列前n项和为T_n，判断T_n与（n∈N^*）的大小，并证明你的结论．

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已知点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直线上，点A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N^*，点A_n，B_n，A_n+1构成以∠B_n为顶角的等腰三角形，设△A_nB_nA_n+1的面积为S_n，
（1）证明：数列{y_n}是等差数列；
（2）求S_2n-1（用a和n的代数式表示）；
（3）设数列前n项和为T_n，判断T_n与（n∈N^*）的大小，并证明你的结论．

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．A    2．A    3．B    4．B    5．C    6．D    7．B    8．B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．－     10．5       11．2，     12．12           13．26      14．－

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：f（x）＝cos²x－sin²x+2sinxcosx+1＝sin2x+cos2x+1

＝2sin+1.  ……………………………………………5分

因此f（x）的最小正周期为，最小值为－1．……………………………7分

（Ⅱ）由f（）＝2得2 sin+1＝2，即sin＝． ………9分

而由∈得2+∈．……………………………10分

故2+＝．…………………………………………………………12分

解得＝． ………………………………………………………………13分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以得40分的概率为

P＝×××＝． ………………………………………………5分

（Ⅱ）依题意，该考生得分的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，故求概率为P（＝20）＝×××＝；

同样可求得得分为25分的概率为

                                   P（＝25）＝××××+×××+×××＝；

得分为30分的概率为P（＝30）＝；

得分为35分的概率为，P（＝35）＝；

得分为40分的概率为P（＝40）＝．

于是的分布列为

20

25

30

35

40

P

………………………………………………………………………………11分

故E＝20×+25×+30×+35×+40×＝．

该考生所得分数的数学期望为  ………………………………………13分

17．（本小题满分14分）

解法一：

（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CC₁底面

ABC，BC₁在底面上的射影为CB．

由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．

所以ACBC₁………………………4分

（Ⅱ）过C作CEAB于E，连结C₁E．

由CC₁底面ABC可得C₁EAB．

故∠CEC₁为二面角C₁－AB－C的平面角．

在ABC中，CE＝，

             在RtCC₁E中，tanC₁EC＝＝，

故所求二面角的大小为arctan．……9分

（Ⅲ）存在点D使AC₁∥平面CDB₁，且D为AB中点，下面给出证明．

设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁中点．连接OD．

在△ABC₁中，D，O分别为AB，BC₁的中点，故OD为△ABC₁的中位线，

∴OD∥AC₁，又AC₁平面CDB₁，OD平面CDB₁，

∴AC₁∥平面CDB₁．

故存在点D为AB中点，使AC₁∥平面CDB₁． ………………………………14分

  解法二：

∵直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∴AC，BC，CC₁两两垂直．如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则

C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）．

（Ⅰ）∵＝（－3，0，0），＝（0，－4，4），

∴?＝0，故ACBC₁   ………………………………………………4分

（Ⅱ）平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1），设平面C₁AB的一个法向量为             n＝（x₀，y₀，z₀），

＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）．

由得

令x₀＝4，则z₀＝3，y₀＝3．

则n＝（4，3，3）．

故cos＜m，n＞＝＝．

所求二面角的大小为arccos.   ………………………………………9分

（Ⅲ）同解法一   ………………………………………………………………………4分

18．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）依题意有，f ′（x）＝a+．……………………………………………3分

因此过（1，f（1））点的直线的斜率为a－1，又f（1）＝a，

所以，过（1，f（1））点的直线方程为y－a＝（a－1）（x－1）．…………4分

又已知圆的圆心为（－1，0），半径为1，依题意，＝1．

解得a＝1． …………………………………………………………………6分

（Ⅱ）f ′（x）＝a+.

因为a＞0，所以2－＜2，又由已知x＜2．………………………………9分

令f ′（x）＞0，解得x＜2－，令f ′（x）＜0，解得2－＜x＜2． …11分

所以，f（x）的单调增区间是，

f（x）的单调减区间是．………………………………………13分

19．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为（0，－），故设椭圆方程为+＝1．

将点A（1，）代入方程得+＝1，整理得a⁴－5a²+4＝0，

解得a²＝4或a²＝1（舍）．

故所求椭圆方程为+＝1． …………………………………………6分

（Ⅱ）设直线BC的方程为y＝x+m，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），

代入椭圆方程并化简得4x²+2mx+m²－4＝0，   …………………………9分

由＝8m²－16（m²－4）＝8（8－m²）＞0，可得m²＜8．

由x₁+x₂＝-m，x₁x₂＝，

故＝＝．

又点A到BC的距离为d＝， …………………………………………11分

故＝?d＝≤?＝，

当且仅当2m²＝16－2m²，即m＝±2时取等号（满足＞0）

所以△ABC面积的最大值为． ………………………………………13分

20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）依题意有y_n＝+，于是y_n+1－y_n＝．

所以数列是等差数列． ………………………………………………4分

（Ⅱ）由题意得＝n，即x_n+x_n+1＝2n，（n∈N^*）①

所以又有x_n+2+ x_n+1＝2（n+1）．                 ②……………………6分

由②－①得x_n+2－x_n＝2，可知x₁，x₃，x₅，…；x₂，x₄，x₆，…都是等差数列．那么得

x_2k－1＝x₁+2（k－1）＝2k+a－2，

x_2k＝x₂+2（k－1）＝2－a+2（k－1）＝2k－a．（k∈N^*）

故x_n＝  ……………………………………………10分

（Ⅲ）当n为奇数时，A_n（n+a－1，0），A_n+1（n+1－a，0），所以＝2（1－a）；

当n为偶数时，A_n（n－a，0）A_n+1（n+a，0），所以＝2a；

作B_nC_nx轴，垂足为C_n，则＝+，要使等腰三角形A_nB_nA_n+1为直角三角形，必须且只需＝2.

当n为奇数时，有2（1－a）＝2，即12a＝11－3n．     ①

当n＝1时，a＝；当n＝3时，a＝；当n≥5时，①式无解．

当n为偶数时，有12a＝3n+1，同理可求得a＝．

综上所述，上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中存在直角三角形，此时a的值为或 或.  ………………………………………………………………………14分