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如图,在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点,作扇形的内接矩形,使点在上,点在上,设矩形的面积为.
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设,将表示成的函数关系式；
②设,将表示成的函数关系式.
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式,求的最大值.

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.           2.          3.          4.         5.68    

 6. 4            7. 7             8.        9.    

10. 若点P在两渐近线上的射影分别为、，则必为定值

11.②③          12.         13.1        14.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.

15. 解: (Ⅰ)因为,∴,则…………………………(4分)

  ∴……………………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)由,得,∴……………………………(9分)

   则 ……………………………(11分)

由正弦定理,得,∴的面积为………(14分)

16. (Ⅰ)解:因为,,且,

所以…………………………………………………………………………(4分)

   又,所以四边形为平行四边形,则……………………(6分)

   而,故点的位置满足……………………………………(7分)

(Ⅱ)证: 因为侧面底面,,且,

所以,则………………………………………………(10分)

   又,且,所以…(13分)

   而,所以………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)因为,所以的面积为()…………(2分)

   设正方形的边长为,则由,得,

解得,则……………………………………………………(6分)

   所以,则…(9分)

   (Ⅱ)因为,所以…(13分)

   当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1…………(15分)

18. 解:(Ⅰ)设圆心,则,解得……………………(3分)

则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为…5分)

(Ⅱ)设,则,且………………(7分)

==,

所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)……………………………(10分)

(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,

,由,

得 ……………………………………………(11分)

  因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得…………………(13分)

  同理,,

所以=

  所以,直线和一定平行…………………………………………………(15分)

19. (Ⅰ)解:因为…………………………………(2分)

由；由,

所以在上递增,在上递减 …………………………(4分)

欲在上为单调函数,则……………………………………(5分)

(Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,

所以在处取得极小值(7分)

 又,所以在上的最小值为 ……………(9分)

 从而当时,,即……………………………………(10分)

(Ⅲ)证:因为,所以即为,

   令,从而问题转化为证明方程=0

在上有解,并讨论解的个数………………………………………………(12分)

   因为,,

所以  ①当时,,

所以在上有解,且只有一解 ……(13分)

②当时,,但由于,

所以在上有解,且有两解 ……………………………………………(14分)

③当时,,所以在上有且只有一解；

当时,,

所以在上也有且只有一解……………………………………………(15分)

综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

且当时,有唯一的适合题意；

当时,有两个适合题意……………………………………………………(16分)

(说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)

20.（Ⅰ）解：由题意得,,所以=……………(4分)

（Ⅱ）证:令,,则=1……………………………………(5分)

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化简得（3）……………………………………………………(7分)

（4）,（4）―（3）得……(9分)

在（3）中令,得,从而为等差数列 …………………………………(10分)

（Ⅲ）记,公差为,则=…………(12分)

则,

………………………………(14分)

则,当且仅当,即时等号成立……(16分)

数学附加题部分

21.A．（几何证明选讲选做题）

解：因为PB=PD+BD=1+8=9,=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,连结AD,在中,得……(5分)

又,所以 …………………………………………………………………(10分)

B．（矩阵与变换选做题）

解: (Ⅰ)设,则有=,=,

所以,解得 …………………………………………(4分)

所以M=,从而= ………………………………………………(7分)

(Ⅱ)因为且m：2，

所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,这就是直线l的方程 ……………………………(10分)

C．（坐标系与参数方程选做题）

解：将极坐标方程转化为普通方程：………………………………(2分)

   可化为   ………………………………………(5分)

在上任取一点A,则点A到直线的距离为

,它的最大值为4 ………………(10分)

D．（不等式选讲选做题）

证:左=

…………………………(5分)

……………………………………………………(10分)

22．解:以OA、OB所在直线分别x轴，y轴,以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，…(2分)

（Ⅰ）设平面PDB的法向量为,

  由,

   所以=………………………………(5分)

  （Ⅱ）设平面ABP的法向量，，

   ,，

   ,而所求的二面角与互补,

所以二面角A―PB―D的余弦值为………………………………………………(10分)

23．解：(Ⅰ)设袋中原有n个白球,由题意知：，所以=12，

解得n=4(舍去),即袋中原有4个白球………………………………………(3分)

(Ⅱ)由题意,的可能取值为1，2，3，4……………………………………………(4分)

,

所以，取球次数的分布列为：

1

2

3

4

P

(6分)

    ……………………………………………………………(8分)

(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A，

则或 “=3”）,所以……………(10分)