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    题目列表(包括答案和解析)

    (本小题满分16分)已知函数.（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值；

    （Ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围.

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    (本小题满分16分) 设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，求不等式的解集.

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    (本小题满分16分)

    按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.

    现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为

    (1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；

    (2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

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    (本小题满分16分)已知⊙和点.

    （Ⅰ）过点向⊙引切线，求直线的方程；

    （Ⅱ）求以点为圆心，且被直线截得的弦长4的⊙的方程；

    （Ⅲ）设为（Ⅱ）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

     

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    (本小题满分16分)已知⊙和点.

    （Ⅰ）过点向⊙引切线，求直线的方程；

    （Ⅱ）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为   4的⊙的方程；

    （Ⅲ）设为（Ⅱ）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

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    一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

    1.           2.          3.          4.         5.68    

     6. 4            7. 7             8.        9.    

    10. 若点P在两渐近线上的射影分别为、，则必为定值

    11.②③          12.         13.1        14.

     

    二、解答题：本大题共6小题，计90分.

    15. 解: (Ⅰ)因为,∴,则…………………………(4分)

      ∴……………………………………………………………(7分)

       (Ⅱ)由,得,∴……………………………(9分)

       则 ……………………………(11分)

    由正弦定理,得,∴的面积为………(14分)

    16. (Ⅰ)解:因为,,且,

    所以…………………………………………………………………………(4分)

       又,所以四边形为平行四边形,则……………………(6分)

       而,故点的位置满足……………………………………(7分)

    (Ⅱ)证: 因为侧面底面,,且,

    所以,则………………………………………………(10分)

       又,且,所以…(13分)

       而,所以………………………………………(14分)

    17. 解:(Ⅰ)因为,所以的面积为()…………(2分)

       设正方形的边长为,则由,得,

    解得,则……………………………………………………(6分)

       所以,则…(9分)

       (Ⅱ)因为,所以…(13分)

       当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1…………(15分)

    18. 解:(Ⅰ)设圆心,则,解得……………………(3分)

    则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为…5分)

    (Ⅱ)设,则,且………………(7分)

    ==,

    所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)……………………………(10分)

    (Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,

    ,由,

    得 ……………………………………………(11分)

      因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得…………………(13分)

      同理,,

    所以=

      所以,直线和一定平行…………………………………………………(15分)

    19. (Ⅰ)解:因为…………………………………(2分)

    由；由,

    所以在上递增,在上递减 …………………………(4分)

    欲在上为单调函数,则……………………………………(5分)

    (Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,

    所以在处取得极小值(7分)

     又,所以在上的最小值为 ……………(9分)

     从而当时,,即……………………………………(10分)

    (Ⅲ)证:因为,所以即为,

       令,从而问题转化为证明方程=0

    在上有解,并讨论解的个数………………………………………………(12分)

       因为,,

    所以  ①当时,,

    所以在上有解,且只有一解 ……(13分)

    ②当时,,但由于,

    所以在上有解,且有两解 ……………………………………………(14分)

    ③当时,,所以在上有且只有一解；

    当时,,

    所以在上也有且只有一解……………………………………………(15分)

    综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

    且当时,有唯一的适合题意；

    当时,有两个适合题意……………………………………………………(16分)

    (说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)

    20.（Ⅰ）解：由题意得,,所以=……………(4分)

    （Ⅱ）证:令,,则=1……………………………………(5分)

    所以=（1）,=（2）,

    （2）―（1）,得―=,

    化简得（3）……………………………………………………(7分)

    （4）,（4）―（3）得……(9分)

    在（3）中令,得,从而为等差数列 …………………………………(10分)

    （Ⅲ）记,公差为,则=…………(12分)

    则,

    ………………………………(14分)

    则,当且仅当,即时等号成立……(16分)

     

     

    数学附加题部分

    21.A．（几何证明选讲选做题）

    解：因为PB=PD+BD=1+8=9,=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,连结AD,在中,得……(5分)

    又,所以 …………………………………………………………………(10分)

    B．（矩阵与变换选做题）

    解: (Ⅰ)设,则有=,=,

    所以,解得 …………………………………………(4分)

    所以M=,从而= ………………………………………………(7分)

    (Ⅱ)因为且m：2，

    所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,这就是直线l的方程 ……………………………(10分)

    C．（坐标系与参数方程选做题）

    解：将极坐标方程转化为普通方程：………………………………(2分)

       可化为   ………………………………………(5分)

    在上任取一点A,则点A到直线的距离为

    ,它的最大值为4 ………………(10分)

    D．（不等式选讲选做题）

    证:左=

    …………………………(5分)

     

    ……………………………………………………(10分)

    22．解:以OA、OB所在直线分别x轴，y轴,以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，…(2分)

    （Ⅰ）设平面PDB的法向量为,

      由,

       所以=………………………………(5分)

      （Ⅱ）设平面ABP的法向量，，

       ,，

       ,而所求的二面角与互补,

    所以二面角A―PB―D的余弦值为………………………………………………(10分)

    23．解：(Ⅰ)设袋中原有n个白球,由题意知：，所以=12，

    解得n=4(舍去),即袋中原有4个白球………………………………………(3分)

    (Ⅱ)由题意,的可能取值为1，2，3，4……………………………………………(4分)

    ,

    所以，取球次数的分布列为：

    1

    2

    3

    4

    P

    (6分)

        ……………………………………………………………(8分)

    (Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A，

    则或 “=3”）,所以……………(10分)

     

     

     


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