17.已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量.养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000只.给每只鱼作上不影响其存活的记号.然后放回池塘.经过一定时间.再每次从池塘中随机地捕出1000只鱼.,分类记录下其中有记号的鱼的数目.随即将它们放回池塘中.这样的记录作了10次.并将记录获取的数据做成以下的茎叶图. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

(本小题满分12分)已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量,养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000只,给每只鱼作上不影响其存活的记号,然后放回池塘,经过一定时间,再每次从池塘中随机地捕出1000只鱼,分类记录下其中有记号的鱼的数目,随即将它们放回池塘中.这样的记录作了10次,将记录获取的数据作成如右的茎叶图.

(Ⅰ)根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数,并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量;

(Ⅱ)随机从池塘中逐只、有放回地捕出3只鱼,求恰好是1只中国金鱼、2只红鲫鱼的概率.

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(本小题满分13分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(Ⅰ)证明:⊥平面

(Ⅱ)求平面与平面所成角的余弦值;[来源:Zxxk.Com]

 

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(本小题满分13分)

        已知某几何体的三视图如图所示,其中分别是该几何体的一个顶点P在三个投影面上的投影,分别是另四个顶点A,B,C,D的投影。

   (I)从①②两个图中选择出该几何体的直观图;

   (II)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;

   (III)设平面PAD与平面ABC的交线为,求二面角A——B的大小。

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(本小题满分13分)

            已知,函数,记曲线在点处切线为与x轴的交点是,O为坐标原点。

   (I)证明:

   (II)若对于任意的,都有成立,求a的取值范围。

 

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(本小题满分13分)已知圆C:过点A(3,1),且过点P(4,4)的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F.

(1)求切线PF的方程;

(2)若抛物线E的焦点为F,顶点在原点,求抛物线E的方程。

(3)若Q为抛物线E上的一个动点,求的取值范围.

 

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一.选择题   1-5   6-10   BCDCA  DAABC 

二.填空题   11. ;  12. 2 ; 13. 2236 ;   14. ;  

 15.

三、解答题

16.【解】(Ⅰ)由整理得

,------2分

,      -------5分

,∴。                  -------7分

(Ⅱ)∵,∴最长边为,              --------8分

,∴,              --------10分

为最小边,由余弦定理得,解得

,即最小边长为1                      --------13分

 

17.【解】(Ⅰ)由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20,故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同,设池塘中两种鱼的总数是,则有

,                                      ------------4分

即   ,                      

所以,可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000.    ------------7分

(Ⅱ)显然,,                                 -----------9分

其分布列为

0

1

2

3

4

5

---------11分

数学期望.                                  -----------13分

 

18.【解】(Ⅰ)∵,∴,--------2分

    要使有极值,则方程有两个实数解,

    从而△=,∴.                        ------------4分

(Ⅱ)∵处取得极值,

    ∴

.                                          ------------6分

∴当时,,函数单调递增,

时,,函数单调递减.

时,处取得最大值,       ------------10分

时,恒成立,

,即

,即的取值范围是.------------13分

 

19.【解】法一:(Ⅰ)∵,∴

∵三棱柱中,平面

,∴平面

平面,∴,而,则.---------2分

中,,--------4分

.∴.即

,∴平面.                --------------6分

(Ⅱ)如图,设,过的垂线,垂足为,连平面,为二面角的平面角.        ----------------9分

中,

,∴;

中,

.------------11分

∴在中,

故锐二面角的余弦值为.

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. ----------13分

法二:(Ⅰ)∵,∴

∵三棱柱中平面

,∴平面

为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.---------------------2分

易求得.-----4分

(Ⅰ)

,即

,∴平面.                    ---------------------6分

(Ⅱ)设是平面的法向量,由

,则是平面的一个法向量.          --------------------9分

是平面的一个法向量,          -----------------11分

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.----------13分

 

20.【解】(Ⅰ)法1:依题意,显然的斜率存在,可设直线的方程为

整理得 . ①    ---------------------2分

    设是方程①的两个不同的根,

    ∴,   ②                  ----------------4分

    且,由是线段的中点,得

    ,∴

    解得,代入②得,的取值范围是(12,+∞).  --------------6分

    于是,直线的方程为,即      --------------7分

    法2:设,则有

          --------2分

    依题意,,∴.                ---------------------4分

的中点,

,从而

又由在椭圆内,∴

的取值范围是.                           ----------------6分

直线的方程为,即.        ----------------7分

(Ⅱ)∵垂直平分,∴直线的方程为,即

代入椭圆方程,整理得.  ③          -----------------9分

又设的中点为,则是方程③的两根,

.-----12分

到直线的距离,故所求的以线段的中点为圆心且与直线相切的圆的方程为:.-----------14分

 

21.【解】(Ⅰ)由求导得

∴曲线在点处的切线方程为,即

此切线与轴的交点的坐标为

∴点的坐标为.即.                -------------------2分

∵点的坐标为),在曲线上,所以

∴曲线在点处的切线方程为,---4分

,得点的横坐标为

∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列.

).                                  ---------------------6分

(Ⅱ)设

  --------9分==(定值)--------11分

 

(Ⅲ)设

=

=

  --------13分

为常数,∴=为定值. -----------14分

 


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