题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分12分)已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量,养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000只,给每只鱼作上不影响其存活的记号,然后放回池塘,经过一定时间,再每次从池塘中随机地捕出1000只鱼,分类记录下其中有记号的鱼的数目,随即将它们放回池塘中.这样的记录作了10次,将记录获取的数据作成如右的茎叶图.
(Ⅰ)根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数,并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量;
(Ⅱ)随机从池塘中逐只、有放回地捕出3只鱼,求恰好是1只中国金鱼、2只红鲫鱼的概率.
(本小题满分13分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(Ⅰ)证明:⊥平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成角的余弦值;[来源:Zxxk.Com]
(本小题满分13分)
已知某几何体的三视图如图所示,其中分别是该几何体的一个顶点P在三个投影面上的投影,
分别是另四个顶点A,B,C,D的投影。
(I)从①②两个图中选择出该几何体的直观图;
(II)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
(III)设平面PAD与平面ABC的交线为,求二面角A—
—B的大小。
(本小题满分13分)
已知,函数
,记曲线
在点
处切线为
与x轴的交点是
,O为坐标原点。
(I)证明:
(II)若对于任意的,都有
成立,求a的取值范围。
(本小题满分13分)已知圆C:过点A(3,1),且过点P(4,4)的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F.
(1)求切线PF的方程;
(2)若抛物线E的焦点为F,顶点在原点,求抛物线E的方程。
(3)若Q为抛物线E上的一个动点,求的取值范围.
一.选择题 1-5 6-10 BCDCA DAABC
二.填空题 11. ;
12. 2 ; 13. 2236 ; 14.
;
15.
三、解答题
16.【解】(Ⅰ)由整理得
,
即,------2分
∴, -------5分
∵,∴
。
-------7分
(Ⅱ)∵,∴最长边为
,
--------8分
∵,∴
,
--------10分
∴为最小边,由余弦定理得
,解得
,
∴,即最小边长为1 --------13分
17.【解】(Ⅰ)由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20,故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同,设池塘中两种鱼的总数是,则有
,
------------4分
即 ,
所以,可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000. ------------7分
(Ⅱ)显然,,
-----------9分
其分布列为
0
1
2
3
4
5
---------11分
数学期望.
-----------13分
18.【解】(Ⅰ)∵,∴
,--------2分
要使有极值,则方程
有两个实数解,
从而△=,∴
.
------------4分
(Ⅱ)∵在
处取得极值,
∴,
∴.
------------6分
∴,
∵,
∴当时,
,函数单调递增,
当时,
,函数单调递减.
∴时,
在
处取得最大值
, ------------10分
∵时,
恒成立,
∴,即
,
∴或
,即
的取值范围是
.------------13分
19.【解】法一:(Ⅰ)∵,∴
.
∵三棱柱中,
平面
.
,∴
平面
.
∵平面
,∴
,而
,则
.---------2分
在与
中,
∴
,--------4分
∴.∴
.即
.
∵,∴
平面
.
--------------6分
(Ⅱ)如图,设,过
作
的垂线,垂足为
,连
,
平面
,
为二面角
的平面角.
----------------9分
在中,
,
,
∴,∴
;
在中,
,
,
∴,
∴.------------11分
∴在中,
,
.
故锐二面角的余弦值为
.
即平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
. ----------13分
法二:(Ⅰ)∵,∴
.
∵三棱柱中平面
∴
.
∵,∴
平面
.
以为坐标原点,
、
、
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系.---------------------2分
易求得
,
,
,
,
,
,
.-----4分
(Ⅰ),
,
,
∵,
,
∴,
,即
,
.
∵,∴
平面
.
---------------------6分
(Ⅱ)设是平面
的法向量,由
得
取,则
是平面
的一个法向量.
--------------------9分
又是平面
的一个法向量,
-----------------11分
.
即平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.----------13分
20.【解】(Ⅰ)法1:依题意,显然的斜率存在,可设直线
的方程为
,
整理得
. ① ---------------------2分
设是方程①的两个不同的根,
∴, ②
----------------4分
且,由
是线段
的中点,得
,∴
.
解得,代入②得,
的取值范围是(12,+∞). --------------6分
于是,直线的方程为
,即
--------------7分
法2:设,
,则有
--------2分
依题意,,∴
.
---------------------4分
∵是
的中点,
∴,
,从而
.
又由在椭圆内,∴
,
∴的取值范围是
.
----------------6分
直线的方程为
,即
. ----------------7分
(Ⅱ)∵垂直平分
,∴直线
的方程为
,即
,
代入椭圆方程,整理得. ③
-----------------9分
又设,
的中点为
,则
是方程③的两根,
∴.-----12分
到直线
的距离
,故所求的以线段
的中点
为圆心且与直线
相切的圆的方程为:
.-----------14分
21.【解】(Ⅰ)由求导得
,
∴曲线:
在点
处的切线方程为
,即
.
此切线与轴的交点
的坐标为
,
∴点的坐标为
.即
.
-------------------2分
∵点的坐标为
(
),
在曲线
上,所以
,
∴曲线:
在点
处的切线方程为
,---4分
令,得点
的横坐标为
.
∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列.
∴(
).
---------------------6分
(Ⅱ)设、
、
,
∵
--------9分
=
=
(定值)--------11分
(Ⅲ)设、
、
则=
=
--------13分
,
∵为常数
,∴
=
为定值. -----------14分
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