题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分14分)
已知函数。
(1)证明:
(2)若数列的通项公式为
,求数列
的前
项和
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)设数列满足:
,设
,
若(2)中的满足对任意不小于2的正整数
,
恒成立,
试求的最大值。
(本小题满分14分)已知,点
在
轴上,点
在
轴的正半轴,点
在直线
上,且满足
,
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)当点在
轴上移动时,求动点
的轨迹
方程;
(本小题满分14分)设函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(本小题满分14分)
已知,其中
是自然常数,
(1)讨论时,
的单调性、极值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数,使
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
(本小题满分14分)
设数列的前
项和为
,对任意的正整数
,都有
成立,记
。
(I)求数列的通项公式;
(II)记,设数列
的前
项和为
,求证:对任意正整数
都有
;
(III)设数列的前
项和为
。已知正实数
满足:对任意正整数
恒成立,求
的最小值。
一.选择题 1-5 6-10 BCDCA DAABC
二.填空题 11. ;
12. 2 ; 13. 2236 ; 14.
;
15.
三、解答题
16.【解】(Ⅰ)由整理得
,
即,------2分
∴, -------5分
∵,∴
。
-------7分
(Ⅱ)∵,∴最长边为
,
--------8分
∵,∴
,
--------10分
∴为最小边,由余弦定理得
,解得
,
∴,即最小边长为1 --------13分
17.【解】(Ⅰ)由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20,故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同,设池塘中两种鱼的总数是,则有
,
------------4分
即 ,
所以,可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000. ------------7分
(Ⅱ)显然,,
-----------9分
其分布列为
0
1
2
3
4
5
---------11分
数学期望.
-----------13分
18.【解】(Ⅰ)∵,∴
,--------2分
要使有极值,则方程
有两个实数解,
从而△=,∴
.
------------4分
(Ⅱ)∵在
处取得极值,
∴,
∴.
------------6分
∴,
∵,
∴当时,
,函数单调递增,
当时,
,函数单调递减.
∴时,
在
处取得最大值
, ------------10分
∵时,
恒成立,
∴,即
,
∴或
,即
的取值范围是
.------------13分
19.【解】法一:(Ⅰ)∵,∴
.
∵三棱柱中,
平面
.
,∴
平面
.
∵平面
,∴
,而
,则
.---------2分
在与
中,
∴
,--------4分
∴.∴
.即
.
∵,∴
平面
.
--------------6分
(Ⅱ)如图,设,过
作
的垂线,垂足为
,连
,
平面
,
为二面角
的平面角.
----------------9分
在中,
,
,
∴,∴
;
在中,
,
,
∴,
∴.------------11分
∴在中,
,
.
故锐二面角的余弦值为
.
即平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
. ----------13分
法二:(Ⅰ)∵,∴
.
∵三棱柱中平面
∴
.
∵,∴
平面
.
以为坐标原点,
、
、
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系.---------------------2分
易求得
,
,
,
,
,
,
.-----4分
(Ⅰ),
,
,
∵,
,
∴,
,即
,
.
∵,∴
平面
.
---------------------6分
(Ⅱ)设是平面
的法向量,由
得
取,则
是平面
的一个法向量.
--------------------9分
又是平面
的一个法向量,
-----------------11分
.
即平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.----------13分
20.【解】(Ⅰ)法1:依题意,显然的斜率存在,可设直线
的方程为
,
整理得
. ① ---------------------2分
设是方程①的两个不同的根,
∴, ②
----------------4分
且,由
是线段
的中点,得
,∴
.
解得,代入②得,
的取值范围是(12,+∞). --------------6分
于是,直线的方程为
,即
--------------7分
法2:设,
,则有
--------2分
依题意,,∴
.
---------------------4分
∵是
的中点,
∴,
,从而
.
又由在椭圆内,∴
,
∴的取值范围是
.
----------------6分
直线的方程为
,即
. ----------------7分
(Ⅱ)∵垂直平分
,∴直线
的方程为
,即
,
代入椭圆方程,整理得. ③
-----------------9分
又设,
的中点为
,则
是方程③的两根,
∴.-----12分
到直线
的距离
,故所求的以线段
的中点
为圆心且与直线
相切的圆的方程为:
.-----------14分
21.【解】(Ⅰ)由求导得
,
∴曲线:
在点
处的切线方程为
,即
.
此切线与轴的交点
的坐标为
,
∴点的坐标为
.即
.
-------------------2分
∵点的坐标为
(
),
在曲线
上,所以
,
∴曲线:
在点
处的切线方程为
,---4分
令,得点
的横坐标为
.
∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列.
∴(
).
---------------------6分
(Ⅱ)设、
、
,
∵
--------9分
=
=
(定值)--------11分
(Ⅲ)设、
、
则=
=
--------13分
,
∵为常数
,∴
=
为定值. -----------14分
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