如图，已知曲线C₁：x²+y²=1（|x|＜1），C₂：x²=8y+1（|x|≥1），动直线l与C₁相切，与C₂相交于A，B两点，曲线C₂在A，B处的切线相交于点M．
（1）当MA⊥MB时，求直线l的方程；
（2）试问在y轴上是否存在两个定点T₁，T₂，当直线MT₁，MT₂斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在，求出满足的T₁，T₂点坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，已知曲线与抛物线c₂：x²=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c₁和抛物线c₂在点A处的切线分别为l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）当为定值时，求证k₁•k₂为定值（与p无关），并求出这个定值；
（Ⅱ）若直线l₂与y轴的交点为D（0，-2），当a²+b²取得最小值9时，求曲线c₁和c₂的方程．

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如图，已知曲线与抛物线c₂：x²=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c₁和抛物线c₂在点A处的切线分别为l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）当为定值时，求证k₁•k₂为定值（与p无关），并求出这个定值；
（Ⅱ）若直线l₂与y轴的交点为D（0，-2），当a²+b²取得最小值9时，求曲线c₁和c₂的方程．

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已知函数f（x）=x³+x²，数列|x_n|（x_n＞0）的第一项x_n=1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（x_n+1，f（x_n+1））处的切线与经过（0，0）和（x_n，f （x_n））两点的直线平行（如图）．
求证：当n∈N^*时，
（Ⅰ）x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1；
（Ⅱ）(

1

2

)n-1≤xn≤(

1

2

)n-2．

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一.选择题   1-5   6-10   BCDCA  DAABC 

二．填空题   11. ;  12. 2 ; 13. 2236 ;   14. ;  

 15.

三、解答题

16.【解】（Ⅰ）由整理得，

即，------2分

∴，      -------5分

∵，∴。                  -------7分

（Ⅱ）∵,∴最长边为，              --------8分

∵，∴，              --------10分

∴为最小边，由余弦定理得，解得，

∴，即最小边长为1                      --------13分

17.【解】（Ⅰ）由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20，故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总数是，则有

，                                      ------------4分

即   ，                      

所以，可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000．    ------------7分

（Ⅱ）显然，，                                 -----------9分

其分布列为

0

1

2

3

4

5

---------11分

数学期望．                                  -----------13分

18.【解】（Ⅰ）∵，∴，--------2分

    要使有极值，则方程有两个实数解，

    从而△＝，∴．                        ------------4分

（Ⅱ）∵在处取得极值，

    ∴，

∴．                                          ------------6分

∴，

∵，

∴当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减．

∴时，在处取得最大值，       ------------10分

∵时，恒成立，

∴，即，

∴或，即的取值范围是．------------13分

19.【解】法一：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱中,平面．

，∴平面．

∵平面，∴，而，则．---------2分

在与中，∴，--------4分

∴．∴．即．

∵，∴平面．                --------------6分

（Ⅱ）如图，设,过作的垂线，垂足为，连，平面,为二面角的平面角．        ----------------9分

在中，，，

∴，∴;

在中，，，

∴，

∴.------------11分

∴在中，，．

故锐二面角的余弦值为.

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ----------13分

法二：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱中平面∴．

∵，∴平面．

以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．---------------------2分

易求得，，，，，，．-----4分

（Ⅰ），，，

∵，，

∴，，即，．

∵，∴平面．                    ---------------------6分

（Ⅱ）设是平面的法向量，由得

取，则是平面的一个法向量．          --------------------9分

又是平面的一个法向量，          -----------------11分

．

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．----------13分

20．【解】（Ⅰ）法1：依题意，显然的斜率存在,可设直线的方程为，

整理得 ． ①    ---------------------2分

    设是方程①的两个不同的根，

    ∴，   ②                  ----------------4分

    且，由是线段的中点，得

    ，∴．

    解得，代入②得，的取值范围是（12，+∞）．  --------------6分

    于是，直线的方程为，即      --------------7分

    法2：设，，则有

          --------2分

    依题意，，∴．                ---------------------4分

∵是的中点，

∴，，从而．

又由在椭圆内，∴，

∴的取值范围是．                           ----------------6分

直线的方程为，即．        ----------------7分

（Ⅱ）∵垂直平分，∴直线的方程为，即，

代入椭圆方程，整理得．  ③          -----------------9分

又设，的中点为，则是方程③的两根，

∴．-----12分

到直线的距离，故所求的以线段的中点为圆心且与直线相切的圆的方程为：．-----------14分

21．【解】（Ⅰ）由求导得，

∴曲线：在点处的切线方程为，即．

此切线与轴的交点的坐标为，

∴点的坐标为．即．                -------------------2分

∵点的坐标为（），在曲线上，所以，

∴曲线：在点处的切线方程为，---4分

令，得点的横坐标为．

∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列．

∴（）．                                  ---------------------6分

（Ⅱ）设、、，

∵

  --------9分==(定值)--------11分

（Ⅲ）设、、

则=

=

  --------13分

，

∵为常数，∴=为定值. -----------14分