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已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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一、选择题：BBCCD    CCBDC　

二、填空题：

11. －  12.   13．；　14．；;　15．

三、解答题：

16．解（1）f(x)＝asinωx－acosωx＝2asin(ωx－)

由已知知周期T＝－＝π，    　故a＝1，ω＝2；……………………6分

（2）由f(A)＝2，即sin(2A－)＝1，又－＜2A－＜，    则2A－＝，解得A＝＝60⁰…8分

故＝＝ ＝＝＝2．……12分

17．A、B、C分别表示事件甲、乙、丙面试合格，则

（1）至少有一人合格的概率P=1－P（）=          4分

（2）可能取值0，1，2，3                                         5分

∴分布列为                                                   

0

1

2

3

 P

   9分

                              12分

18解：（1）连接，交于点，连接，

则在正方形中，又，，

故在△中，

又平面，平面，所以，平面

（2）面，四边形为正方形，故以点为原点，

为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，，

面，是面的一个法向量

设是平面的一个法向量，则，且，

，取，得，

此时，向量和的夹角就等于二面角的平面角

   二面角的余弦值为

19．解：（1）依题意，到距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线                                                （2分）

  曲线方程是                                     （4分）

（2）设圆心，因为圆过

故设圆的方程                       （7分）

令得：

设圆与轴的两交点为，则  （10分）

在抛物线上，    （13分）

所以，当运动时，弦长为定值2                           （14分）

20．方程tan²πx－4tanπx＋＝(tanπx－1)(tanπx－)＝0

得tanπx＝或tanπx＝

（1）当n＝1时，x∈[0，1)，即πx∈[0，π)

由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝或πx＝            

故a₁＝＋＝；………………2分

当n＝2时，x∈[1，2)，则πx∈[π，2π)

由tanπx＝或tanπx＝，得πx＝或πx＝       

故a₁＝＋＝………………4分

当x∈[n－1，n)时，πx∈[(n－1)π，nπ)

由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝＋(n－1)π或πx＝＋(n－1)π

得x＝＋(n－1)或x＝＋(n－1)，     

故a_n＝＋(n－1)＋＋(n－1)＝2n－………6分

（2）由（1）得b_n＋1≥a＝2b_n－……………………8分

即b_n＋1－≥a＝2(b_n－)≥2²(b_n－1－)≥…≥2ⁿ(b₁－)＝2^n－1＞0……10分

则≤，即≤

＋＋…＋≤1＋＋…＋＝2－＜2．……12分

21．解：（1）函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，

∴f ^/(x)＝3ax²＋c，则

故f(x)＝－x³＋x；………………………………4分

（2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)

∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在[－，]上是减函数，

由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　

如图所示，

当－1＜m＜0时，f(x)_max＝f(－1)＝0；

当0≤m＜时，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，

当m≥时，f(x)_max＝f()＝．

故f(x)_max＝．………………9分

（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，

又令t＝xy，则0＜t≤k²，

故函数F(x)＝g(x)?g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－

             　＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k²]

当1－4k²≤0时，F(x)无最小值，不合

当1－4k²＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，

且F(k²)＝(－k)²，∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，

必须，

故实数k的取值范围是(0，)]．………………14分