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设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“① 方程f(x)-x=0有实数根；② 函数f(x)的导数(x)满足0＜(x)＜1”.

(Ⅰ)判断函数f(x)=是否是集合M中的元素，并说明理由；

(Ⅱ )集合M中的元素f(x)具有下面的性质：“若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n]D，都存在x₀∈ [m，n]，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)(x₀)成立”，试用这一性质证明：方程f(x)-x=0只有一个实数根；

(Ⅲ)设x₁是方程f(x)-x=0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的x₂，x₃,当，且时，.

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一．BCAAC      DAAAC

二．11．5　 12.０　１３.（４，１２）１４.［－３，０）∪（３，＋∞）　１５①②③

三.１６解：（1）由正弦定理有：；。。。。。（２分）

　　　　∴，；。。。。。。。。。。。。。（４分）

∴

　　                        _{。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（７分）}

（2）由；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（８分）

∴；。。。。。。。。（１０分）∴_{。。。。。。。。。。。。。（１２分）}

１７。解：（Ⅰ）由题意可知    数列是等差数列  ………（2分）

，

当时，

两式相减，得      ………………………（4分）

时也成立

∴的通项公式为：     ………………………………（6分）

（Ⅱ）由前项和公式得

当时，_{………………………………………（８分）}

∵最大， 则有 ，解得 …………………………….（１２分）

１８。解：（Ⅰ）当时，，.

         . ……………………………………… 2分

         ∵ ,

∴     解得 或.

∴ 当时，使不等式成立的x的取值范围是

.…………………………………………… 5分

      （Ⅱ）∵ ,…… 8分

            ∴ 当m<0时,；

               当m=0时, ；

               当时，；

               当m＝1时，；

               当m>1时，.  .............................................12

１9。解：设对甲厂投入x万元（0≤x≤c）,则对乙厂投入为c―x万元．所得利润为

y=x+40（0≤x≤c） ……………………（3分）

令=t（0≤t≤）,则x=c－t²

∴y=f（t）=－t²+40t+c=－（t―20）²+c+400……………………（6分）

当≥20,即c≥400时,则t=20, 即x=c―400时, y_max =c+400… （8分）

当0<<20, 即0<c<400时,则t=,即x=0时,y_max=40 ．…（10分）

答：若政府投资c不少于400万元时,应对甲投入c―400万元, 乙对投入400万元,可获得最大利润c+400万元．政府投资c小于400万元时,应对甲不投入,的把全部资金c都投入乙商品可获得最大利润40万元．…（12分）

20。解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c²＝a²－b²，由条件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程为：y²＋＝1　     ………………………………………(5分)

（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　            ………………………………………………(7分)

设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　  ………………………………………………(9分)

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　  ………………………………………………(11)分

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，                                  

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易验证k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）     ………………………(13分)

21. 解：(Ⅰ)易知0是f(x)－x=0的根………………………（1分）

                           0＜≤(x)=+sinx≤＜1………..（3分）

            ∴f(x)∈M…………………………………………………（4分）

Ⅱ)假设存在两个实根，则，不妨设，由题知存在实数，使得成立。∵，且，∴

与已知矛盾，所以方程只有一个实数根……………………（8分）

(Ⅲ) 不妨设，∵，∴为增函数，∴，又∵∴函数为减函数，∴，………………….（10分）

∴，即，……..（12分）

∴_{….（14分）}