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高三数学试卷(理科)                2009．1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

B

A

C

B

A

C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．x²-=1  10．14    11．-2  12．16π, π  13．①②    14．1，3

注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

15．(本小题满分12分)

  (Ⅰ)解：在△ABC中，由正弦定理==，得=，………3分

     因为A=2C，所以=，即=，

     解得cosC=；                                      ………………………6分

  (Ⅱ)解：在△ABC中，由余弦定理b²=a²+b²－2abcosC，        ………………………9分

    得9=16+b²－8b×，解得b=3，或b=.

    因为a、b、c互不相等，

    所以b =．                                               ………………12分

16．(本小题满分12分)

  (Ⅰ)解：记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A．   ………………………1分

     由题意，事件A包括以下两个互斥事件：

    ①事件B：有2件甲批次产品检验不合格．由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式，得P(B)= C²₃?()²?(1－)¹=；           ……………………3分

    ②事件C：3件甲批次产品检验都不合格．由相互独立事件概率乘法公式，得P(C)=()³=；所以，“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为P(A)= P(B)+ P(C)=：                                         ………………………6分

高三数学（理科）答案 第1页（共8页）

  (Ⅱ)解：记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件”为事件D．由题意，事件D包括以下三个互斥事件：

     ①事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有2件乙批次产品检验不合格．

       其概率P(E)=()²?C₃¹ ()²(1－)=；            ………………………8分

     ②事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．

       其概率P(F)=C₃²()²(1－)?C₃¹ ()¹(1－)²=      ……………………10分

     ③事件G：有1件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格．

       其概率P(G)= C₃¹()¹(1－)²?(1－)³=；

       所以，事件D的概率为P(D)=P(E)+P(F)+P(G)=.        …………………12分

17．(本小题满分14分)

    方法一：(Ⅰ)证明：∵平面PCD⊥平面ABCD．

    又平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD．

    ∴BC⊥平面PCD，        ……………………3分

    ∵PD平面PCD，

    ∴BC⊥PD；  　　　    ………………………4分

    (Ⅱ)解：取PD的中点E，连接CE、BE，

    ∵△PCD为正三角形，

    ∴CE⊥PD，

      由(Ⅰ)知BC⊥平面PCD，

    ∴CE是BE在平面PCD内的射影．

    ∴BE⊥PD，

    ∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角，                     ……………………7分

    在△CEB中，∠BCE=90°，BC=2，CE=，

    ∴tan∠CEB==，

    ∴二面角B-PD-C的大小为arctan；                      ……………10分

(Ⅲ)解：∵底面ABCD为正方形，∴AD∥BC，

高三数学（理科）答案 第2页（共8页）

    ∵AD平面PBC,BC平面PBC,

    ∴AD∥平面PBC，

    ∴点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，

    过D作DF⊥PC于F，

    ∵BC⊥平面PCD，

    ∴BC⊥DF，

    ∵PC∩BC=C，

    ∴DF⊥平面PBC，且DF∩平面PBC=F,

    ∴DF为点D到平面PBC的距离，                ………………………13分

    在等边△PCD中，DC=2，DF⊥PC，

    ∴CF=1，DF==，

    ∴点A到平面PBC的距离等于                 ……………………14分

方法二：(Ⅰ)证明：取CD的中点为O，连接PO，

    ∵PD=PC，∴PO⊥CD，

    ∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，

    ∴PO⊥平面ABCD，      ………………………2分

    如图，在平面ABCD内，过O作OM⊥CD交AB于M,

以O为原点，OM、OC、OP分别为x、y、z轴，建立空间

直角坐标系O-xyz，

    则B(2，1，0)，C(0，1，0)，D(0，－l，0)，P(0，0，)，

    ∵=(0，－l，－)，=(－2，0，0)，

    ∴?=0，

    ∴BC⊥PD；                                          …………………4分

(Ⅱ)解：取PD的中点E，连接CE、BE，如(Ⅰ)建立空间坐标系，则E(0，－，)，

    ∵△PCD为正三角形，

    ∴CE⊥PD，

        ∵=(－2，－2，0)，=(－2，－1，)，

高三数学（理科）答案 第3页（共8页）

        ∴==，

∴BE⊥PD，

∴∠CEB为二面角B-PD- C的平面角，               ………………………7分

        ∵=(2，，-)，=(0，，-)，

        ∴cos∠BEC===，

        ∴二面角B-PD- C的大小为arccos                    ……………10分

     (III)解：过点A作AF⊥平面PBC于F，

    ∴AF为点A到平面PBC的距离，设=h，

        ∵=(－2，0，0)，= (0，－1，)，

        ∴=0，即BC⊥CP，

        ∴△PBC的面积S_△PBC=|BC|?|PC|=2，

        ∵三棱锥A-PBC的体积V_A-PBC=V_P-ABC，

        ∴S_△PBC=S_△ABC，

    即，解得h=，

        ∴点A到平面PBC的距离为．                         ……………14分

18．(本小题满分14分)

    (I)解：∵数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，

      ∴(a_n+1+S_n+1)－( a_n+S_n )=2，即a_n+1=，                     ……………3分

      ∵a₁=1，

      ∴a₂=，a₃=；                                        ……………5分

  (II)证明：由题意，得a₁-2=-1，

     ∵，

高三数学（理科）答案 第4页（共8页）

       ∴{ a_n-2)是首项为-l，公比为的等比数列；                ………………9分

    (Ⅲ)解：由(Ⅱ)得a_n-2=-()^n-1，

   ∴na_n=2n-n ^n-1，                                       ……………10分

       ∴T_n=(2-1)+(4-2)+[6-3²]+…+[2n-n ^n-1]，

       ∴T_n =(2+4+6+…+2n)-[l+2+3² +…+ n ^n-1]，

       设A_n=1+2+3²+…+ n ⁿ ，          ①

      ∴ A_n=+2²+3³+…+ n ^n-1 ，    ②

    由①-②，得A_n =1++()²+…+() ^n-1 - n ⁿ，

  ∴A_n=，

    ∴A_n=4-(n+2)^n-1，

       ∴T_n=+(n+2)^n-1-4=(n+2)^n-1+ n (n+1) ? 4． …………………14分

19．(本小题满分14分)

    (Ⅰ)解：由题意，得M(1，0)，直线l的方程为y=x-1．

   由，得x²-6 x +1=0，

       设A，B两点坐标为A (x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB中点P的坐标为P(x₀，y₀)，

       则x₁=3+2，x₂=3-2，y₁= x₁-1=2+2，y₂= x₂-1=2―2，

       故点A(3+2，2+2)，B(3-2，2-2)，            ……………3分

    所以x₀==3，y₀= x₀-1=2，

       故圆心为P(3，2)，直径=，

       所以以AB为直径的圆的方程为(x-3) ²+( y-2) ²=16；           ………………6分

  方法一：(II)解：设A，B两点坐标为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，．

高三数学（理科）答案 第5页（共8页）

则=( m- x₁，- y₁)，=( x₂-m， y₂)，

       所以           ①

       因为点A，B在抛物线C上，

       所以y₁²=4x₁，y₂²=4x₂               ②

       由①②，消去x₂，y₁，y₂  得λx₁= m．                 ……………………10分

       若此直线l使得 ，，成等比数列，则²=，

 即²=λ，所以m²=λ[(x₁-m)²+y₁²]，

       因为y₁²=4x₁，λx₁=m，所以m²=[(x₁-m)²+4x₁]，

 整理得x₁²-(3m-4)x_l+ m²=0，           ③               …………………12分

      因为存在直线l使得，，成等比数列，

      所以关于x₁的方程③有正根，

      因为方程③的两根之积为m²>0，所以只可能有两个正根，

      所以，解得m4．

       故当m4时，存在直线l使得，，成等比数列．…………14分

方法二：(II)解：设使得，，成等比数列的直线AB方程为x=m(m >0)或

   y= k(x-m)(k≠0)，

    当直线AB方程为x=m时，A(m，)，B(m，-)，

       因为，，成等比数列， 

       所以²=，即m²=4 m，解得m =4，或m =0(舍)； ……………8分

当直线AB方程为y= k(x- m)时，

高三数学（理科）答案 第6页（共8页）

    由，得k²x²-(2k²m+4)x+k²m²=0，

    设A，B两点坐标为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

    则x₁+ x₂=，x₁x₂=m²,                    ①

    由m>0，得Δ=(2k²m+4)²-4k²k²m²=16k²m+16>0．

    因为，，成等比数列，所以²=，

    所以m²=，      ②

    因为A，B两点在抛物线C上，

    所以y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，                           ③      ……………11分

    由①②③，消去x₁，y₁，x₂，y₂，

    得m=4(1+)，

    因为存在直线l使得，，成等比数列，

    所以m=4(1+)>4，

综上，当m4时，存在直线l使得，，成等比数列．…………14分

20．(本小题满分14分)

    (Ⅰ)解：设h(x)= mf(x)+ ng(x)，则h(x)= m(x²+x)+ n(x+2)=mx²+(m+n)x+2n(m≠0)，

       因为h(x)为一个二次函数，且为偶函数，

   所以二次函数h(x)的对称轴为y轴，即x=，

       所以n=-m，则h(x)= mx²-2m，

    则h()=0；                                   ……………………3分

    (Ⅱ)解：由题意，设h(x)= mf(x)+ ng(x)=mx²+(am+n)x+bn(m，n∈R ，且m≠0)

    由h(x)同时也是g(x)、l(x)在R上生成的一个函数，

    知存在m₀，n₀ 使得h(x)= m₀g(x)+ n₀l(x)=2n₀x²+(m₀+3n₀)x+(bm₀-n₀)，

    所以函数h(x)=mx²+ (am+n) x+bn=2n₀x²+(m₀+3n₀)x+(bm₀-n₀)，

高三数学（理科）答案 第7页（共8页）

  则，                          ………………………5分

  消去m₀，n₀，得am=()m，  

因为m≠0，所以a=，                         …………………7分

因为b>0，

所以a+b=+ b (当且仅当b =时取等号)，

故a+b的最小值为．                           …………………9分

(Ⅲ)结论：函数h(x)不能为任意的一个二次函数．   

   以下给出证明过程．

   证明：假设函数h(x)能为任意的一个二次函数，

   那么存在m₁，n₁使得h(x)为二次函数y=x²，记为h₁(x)=x²，

   即h₁(x)=m₁ f(x)+ n₁g(x)= x² ；                ①

   同理，存在m₂，n₂使得h(x)为二次函数y=x²+l，记为h₂(x)=x²+l，

   即h₂(x) =m₂ f(x)+ n₂g(x)= x²+l．                ②

   由②-①，得函数h₂(x) ? h₁(x)=( m₂?m₁) f(x)+( n₂?n₁) g(x)=1，

   令m₃=m₂-m₁，n₃=n₂-n₁，化简得m₃( x²+ax)+ n₃(x+b) =1对x∈R恒成立，

   即m₃x³ (m₃a+n₃)x+ n₃b=1 对x∈R恒成立，

   所以，即，

   显然，n₃b=0×b=0与n₃b =1矛盾，

   所以，假设是错误的，

   故函数h(x) 不能为任意的一个二次函数．            …………………14分

          注：第（Ⅲ）问还可以举其他反例．

高三数学（理科）答案 第8页（共8页）