设f(x)=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

设f(x)=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3，
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（II）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（III）当a≥1时，证明对于任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

设f(x)=

1+ax

1-ax

a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（Ⅰ）设关于x的方程求loga

t

(x2-1)(7-x)

=g(x)在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n(n+1)

；
（Ⅲ）当0＜a≤

1

2

时，试比较|

n

k=1

f(k)-n|与4的大小，并说明理由．

记f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0，a≠1)，g（x）是f（x）的反函数．
（Ⅰ）若关于x的方程：loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）当a=e（e是自然对数的底数）时，记h(x)=g(x)-

x

2

(x≥0)，求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当a＞1时，求证：

n

k=1

g(a-k)＜

lna

2(a-1)

（n∈N^*）．