如图，已知点B（1，3），C（1，0），直线y=x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空：A点坐标为（，），D点坐标为（，）；
（2）若抛物线y=

1

3

x²+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由．
（提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-

b

2a

，顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-6，0），B（6，0），C（0，4

3

），延长AC到点D，使CD=

1

2

AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（4，4），且抛物线经过原点，和x轴相交于另一点B，以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD．
（1）求抛物线的解析式和点C、D的坐标；
（2）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；
（3）若以点A（4，4）为圆心，r为半径画圆，请你探究：
①当r=时，⊙A上有且只有一个点到直线BD的距离等于2；
②当r=时，⊙A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；
③随着r的变化，⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数也随着变化，请根据⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的r的值或取值范围．