如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：
（1）异面直线A₁B₁与CD₁所成的角为45°；
（2）D₁C⊥AC₁；
（3）在棱DC上存在一点E，使D₁E∥平面A₁BD，这个点为DC的中点；
（4）在棱AA₁上不存在点F，使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的．
其中正确的个数有

20090116

三、解答题：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16．解：由条件，可得，故左焦点的坐标为．

设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故．

因为，所以

,

由二次函数性质可知，当时，取得最小值4．

所以，的模的最小值为2，此时点坐标为．

17．解：（1）当时，；

当且时，；

当时，；（不单独分析时的情况不扣分）

当时，．

（2）由（1）知：当时，集合中的元素的个数无限；

当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集．

因为，当且仅当时取等号，

所以当时，集合的元素个数最少．

此时，故集合．

18．（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）

解：

 （2）解：如图所示．由，，则面．

所以，四棱锥的体积为

．

19．解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．

由此可得，；

由规律②可知，，

；

又当时，，

所以，，由条件是正整数，故取．

    综上可得，符合条件．

（2） 解法一：由条件，，可得

，

，

，．

因为，，所以当时，，

故，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．

解法二：列表，用计算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人数

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．

20．解：（1）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为：

     ；

  （2）解法一：设此子数列的首项为，公比为，由条件得：，

则，即    

而  则 .

所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，

其通项公式为，.

解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为．

由………… ①

又若，则对每一

都有………… ②

从①、②得；

则；

因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为无穷等比子

数列，通项公式为，．

（3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：

问题一：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．

解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

，

因为等式左边或为偶数，或为一个分数，而等式右边为两个奇数的乘积，还是一个奇数。故等式不可能成立。所以这样的两个子数列不存在。

【以上解答属于层级3，可得设计分4分，解答分6分】

问题二：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．

解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

………… ①

若且，则①，矛盾；若且，则①

，矛盾；故必有且，不妨设，则

①………… ②

1当时，②，等式左边是偶数，

右边是奇数，矛盾；

2当时，②

或

，

两个等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

综合可得，不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等。

【以上解答属于层级4，可得设计分5分，解答分7分】

问题三：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．

解：假设存在满足条件的原数列的两个不同的无穷等比子数列。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

，

显然当时，上述等式成立。例如取，，得：

第一个子数列：，各项和；第二个子数列：，

各项和，有，因而存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍。

【以上解答属层级3，可得设计分4分，解答分6分．若进一步分析完备性，可提高一个层级评分】

问题四：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？并说明理由．解（略）：存在。

问题五：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？并说明理由．解（略）：不存在．

【以上问题四、问题五等都属于层级4的问题设计，可得设计分5分。解答分最高7分】