设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线相切，过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求的取值范围．

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设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线相切，过点P直线椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求Q点坐标．

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（本题满分13分）
设椭圆的左、右焦点分别为F₁与F₂，直线过椭圆的一个焦点F₂且与椭圆交于P、Q两点，若的周长为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C经过伸缩变换变成曲线，直线与曲线相切且与椭圆C交于不同的两点A、B，若，求面积的取值范围。（O为坐标原点）

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

D

B

C

C

B

C

D

A

D

A

B

二、填空题

13．24    14.        15.     16.    ①④   

三、解答题

17． 解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

……4分

直方图如右所示……………          

   （Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，

频率和为

所以，抽样学生成绩的合格率是%..........................6分

   （Ⅲ），， ，”的人数是9，18,15,3。所以从成绩是60分以上（包括60分）的学生中选一人，该生是优秀学生的概率是

 ……………………………………………………10分

18．（Ⅰ）证法一：取的中点G,连结FG、AG,

依题意可知：GF是的中位线，

则  GF∥且，

      AE∥ 且,

所以GF∥AE,且GF=AE,即四边形AEFG为平行四边形，………3分

则EF∥AG,又AG平面，EF平面,

所以EF∥平面.                            ………6分

证法二：取DC的中点G，连结FG,GE.

∵∥，平面, GF平面∴FG∥平面.………3分

同理：∥平面,且,∴平面EFG∥平面,平面,

∴EF∥平面.                                        ………6分

证法三：连结EC延长交AD于K，连结, E、F分别CK、CD₁的中点，

所以   FE∥D₁K                                    ……3分

∵FE∥D₁K,平面， 平面,∴EF∥平面.………6分

   （Ⅱ）解：.

.

∴的值为1.   ………12分

19．解：（1）

    ………3分

∵角A为钝角，

                 ………………4分

取值最小值，

其最小值为……………………6分

   （2）由………………8分

       ,

…………10分

在△中，由正弦定理得：   ……12分

20．解：（1）

由题意得，经检验满足条件。      …………2分

（2）由（1）知…………4分

令（舍去）…                   ……………6分

当x变化时，的变化情况如下表：

x

－1

(－1,0)

0

（0，1）

1

－

0

+

－1

ㄋ

－4

ㄊ

－3

             ……………9分

∵关于x的方程上恰有两个不同的实数根，

                                        …………12分

21．解：⑴设动点的坐标为P(x,y),则＝(x,y－2)，＝(x,y+2)，＝(2－x,－y)

∵?＝m||²，

∴x²+y²－4＝m[(x－2)²+y²] 

即(1－m)x²+(1－m)y²+4mx－4m－4=0，                      ………3分

若m=1，则方程为x=2，表示过点（2，0）且平行于y轴的直线；   ………4分

若m≠1，则方程化为：，表示以(,0)为圆心，以 为半径的圆；                                                 ………6分

   （2）当m=2时，方程化为(x－4)²+y²=4；                       

设，则，圆心到直线距离时，………8分

解得，又，所以图形为上半个圆（包括与轴的两个交点）……10分

故直线与半圆相切时；

当直线过轴上的两个交点时知；

因此的取值范围是.                            ………12分

22．解：(1)

2

3

51

200

196

192

1

4

                                                                   ………4分

   （2）由题意知数列的前50项成首项为200,公差为－4的等差数列,从第51项开始,奇数项均为1,偶数项均为4.                             

从而=                    

=.              ……………6分       

   （3）当时，因为,                       

   所以                          …………8分       

当时，

因为，所以，       ……………10分       

当时，

综上：.                                      ……………12分