题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分12分）二次函数
的图象经过三点
.
（1）求函数的解析式（2）求函数在区间
上的最大值和最小值
（本小题满分12分）已知等比数列{an}中，
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，证明:
；
，证明：对任意的正整数n、m，均有
（本小题满分12分）已知函数
，其中a为常数.
（Ⅰ）若当
恒成立，求a的取值范围；
的单调区间.（本小题满分12分）
甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为
，乙投篮命中的概率为
（Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；
（Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望.（本小题满分12分）已知
是椭圆
的两个焦点，O为坐标原点，点
在椭圆上，且
，圆O是以
为直径的圆，直线
与圆O相切，并且与椭圆交于不同的两点A、B.
（1）求椭圆的标准方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）当
时，求弦长|AB|的取值范围.
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. D 11. B 12. C
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13. 
14.
15.
16.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 本题主要考查三角函数的基本公式，考查运算能力. 满分12分.
解：（Ⅰ）在
中，因为
，
所以
. ……………………………（3分）
所以
. …………………………（6分）
（Ⅱ）根据正弦定理得：
，
所以
. ……………………………（9分）
所以
. ………………………………………………………（12分）
18．本题主要考查直线与平面的位置关系，考查空间想像能力，推理论证能力和运算求解能
力. 满分12分.
解：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE，
因为G是等边三角形ABE的边AE的中点，所以BG⊥AE，……………（2分）
所以
．…………………………………………（4分）
（Ⅱ）取DE中点M，连结MG、FM，
因为MG 
AD，BF AD，所以MG BF，
四边形FBGM是平行四边形，所以BG//FM.（6分）
又因为FM
平面EFD，BG
平面EFD，
所以BG//平面EFD. ………………（8分）
（Ⅲ）因为DA⊥平面ABE，BG平面ABE，所以DA⊥BG. …………………（9分）
又BG⊥AE，AD
AE＝A，
所以BG⊥平面DAE，又AP平面DAE，………………………………（11分）
所以BG⊥AP. ……………………………………………………………（12分）
19. 本题主要考查等差数列、等比数列的基本知识，考查运算求解能力及推理能力. 满分12分.
解：（Ⅰ）设该等差数列的公差为
，依题意得：
………（2分）
解得：
………………………………………………………（4分）
所以数列
的通项公式为
. ………………………………（6分）
（Ⅱ）依题意得：
………………（9分）
. ………（12分）
20. 本题主要考查概率、统计的基本知识，考查应用意识. 满分12分.
解：（Ⅰ）设每个报名者能被聘用的概率为P，依题意有：
.
答：每个报名者能被聘用的概率为0.02. ………………………………………（4分）
（Ⅱ）设24名笔试者中有x名可以进入面试，依样本估计总体可得：
，解得：
，从表中可知面试的切线分数大约为80分.
答：可以预测面试的切线分数大约为80分. ……………………………………（8分）
（Ⅲ）从聘用的四男、二女中选派两人的基本事件有：（a,b）,( a,c) , (a, d) ,( a, e) ,
(a, f) ,( b, c) ,（b,d）,( b, e) ,( b, f) ,(c, d) ,（c, e）,( c, f) ,( d, e) ,( d, f) ,（e, f）,共15种.
选派一男一女参加某项培训的种数有:
(a,e) ,( a, f) , (b,e) ,(b, f),（c,e）,(c, f) ,(d,e) ,(d, f)，共8种
所以选派结果为一男一女的概率为
.
答：选派结果为一男一女的概率为. …………………………………（12分）
21．本题主要考查圆、直线与椭圆的位置关系等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、
解决问题的能力. 满分12分
解：（Ⅰ）由已知得，
,所以
又
，所以
，椭圆C的方程为
………（3分）
因为
，所以
，可求得
或
，…（5分）
所以
的外接圆D的方程是
或
．
………………………………………………………………（7分）(少一解扣1分)
（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，由（Ⅰ）得
，
，
可得
，所以
．…………………………………（8分）
当直线的斜率存在时，设其斜率为
，显然
，
则直线的方程为
，设点
，
将代入方程
，并化简得：
……………………………………（9分）
可得：
，
， ……………………（10分）
所以
．
综上，． ………………………………………………………（12分）
22．本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式、方程的解等基本知识，考查运用导
数研究函数性质的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.
解：（Ⅰ）依题意，知
的定义域为
. …………………………………（1分）
当
时，
，
. ………………………………（2分）
令
，解得
.
当
时，
，此时
单调递增；
当
时，
，此时单调递减. ……………………………（3分）
所以的极大值为
，此即为最大值 . ……………………（4分）
（Ⅱ）
，
所以
，在
上恒成立，………………（6分）
所以
，…………………………………（7分）
当
时，
取得最大值．所以
． ………………（9分）
（Ⅲ）因为方程
有唯一实数解，所以
有唯一实数解．设
，则
.
令
，得
．
因为
，
所以
（舍去），
， ………（10分）
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，在
单调递增．
当
时，
，取最小值
. ……………………（11分）
因为
有唯一解，所以
．
则
，即
所以
，
因为
，所以
． …………………………（12分）
设函数
，
因为当
时，
是增函数，所以
至多有一解． ………（13分）
因为
，所以方程
的解为
，即
，
解得
……………………………………………（14分）
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