如图①，直线AB的解析式为y=kx-2k（k＜0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABO=60°．经过A、O两点的⊙O₁与x轴的负半轴交于点C，与直线AB切于点A．
（1）求C点的坐标；
（2）如图②，过O₁作直线EF∥y轴，在直线EF上是否存在一点D，使得△DAB的周长最短，若存在，求出D点坐标，不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接OO₁与⊙O₁交于点G，点P为劣弧上一个动点，连接GP与EF的延长线交于H点，连接EP与OG交于I点，当P在劣弧运动时（不与G、F两点重合），O₁H-O₁I的值是否发生变化，若不变，求其值，若发生变化，求出其值的变化范围．

如图①，直线AB的解析式为()与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABO=60°.经过A、O两点的⊙O₁与x轴的负半轴交于点C，与直线AB切于点A．

⑴求C点的坐标；

⑵如图②，过作直线EF∥y轴，在直线EF上是否存在一点D，使得△DAB的周长最短，若存在，求出D点坐标，不存在，说明理由；

⑶在⑵的条件下，连接与⊙交于点G，点P为劣弧GF上一个动点，连接GP与EF的延

长线交于H点，连接EP与OG交于I点，当P在劣弧GF运动时（不与G、F两点重合），的值是否发生变化，若不变，求其值，若发生变化，求出其值的变化范围.