如图，在直三棱柱AB－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝BCCC₁，D为AB的中点

(1)求证：AC₁∥平面CDB₁

(2)求二面角B－B₁C－D的余弦值的大小．

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一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

A

C

B

B

C

D

C

A

C

D

A

二、填空题：

13.           14.         15.     2个      16.       

三、解答题：

17.解：（1）

               ……………………3分

又         即 

                            …………………5分

（2）    

又  是的充分条件        解得     ………12分

18.由题意知，在甲盒中放一球概率为时，在乙盒中放一球的概率为  …2分

①当时，，的概率为               ………4分

②当时，，又，所以的可能取值为0，2，4

（?）当时，有，，它的概率为    ………6分

（?）当 时，有 ， 或 ，

它的概率为

（?）当时，有或

     它的概率为

故的分布列为

0

2

4

P

 的数学期望        …………12分

19.解：（1） 连接 交 于点E，连接DE， ,

 四边形 为矩形， 点E为 的中点，

       平面                 ……………6分

（2）作于F，连接EF

，D为AB中点，，

     ,  EF为BE在平面内的射影

又为二面角的平面角.

设     

又二面角的余弦值  ………12分

20.（1）据题意的

                        ………4分

                      ………5分

（2）由（1）得：当时，

     当时，，为增函数

    当时，为减函数

当时，      …………………………8分

当时，

当时，

当时，                   …………………………10分

综上知：当时，总利润最大，最大值为195  ………………12分

21.解：（1）由椭圆定义可得，由可得

，而

解得                                   ……………………4分

（2）由，得，

解得或（舍去）     此时

当且仅当时，得最小值，

此时椭圆方程为         ………………………………………8分

（3）由知点Q是AB的中点

设A,B两点的坐标分别为，中点Q的坐标为

则，两式相减得

      AB的中点Q的轨迹为直线①

且在椭圆内的部分

又由可知，所以直线NQ的斜率为，

方程为②

①②两式联立可求得点Q的坐标为

点Q必在椭圆内          解得

又              …………………………………12分

22.解：（1）由，得

令，有

又

（2）证明：

为递减数列

当时，取最大值          

由（1）中知     

综上可知

（3）

欲证：即证

即，构造函数

当时，

函数在内递减

在内的最大值为

当时，

又      

不等式成立