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如图，在平行四边形ABCD中，于E，于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．

（1）求证：△ABE∽△ADF；

（2）若，求证：四边形ABCD是菱形．

 

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如图，在平行四边形ABCD中，于E，于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．

 

（1）求证：△ABE∽△ADF；

（2）若，求证：四边形ABCD是菱形．

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一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）

1．B                     2．A                    3．D                    4．A                    5．C

6．D                    7．B                     8．C                     9．C                     10．A

二、填空题（本题有6小题，每题5分，共30分）

11．5.6                                      12．5

13．                14．

15．                                    16．

三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）

17．

    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

         ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

18．

    ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

19．设（度），则，．

根据四边形内角和定理得，．  ???????????????????????????????????? 4分

解得，．

∴，，．  ???????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

20．（1）B机器的产量为150件，   ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

A机器的产量约为210件．   ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（2）C机器产量的百分比为40%．   ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

设C机器的产量为x，

由，得，即C机器的产量为240件．   ???????????????????????????????? 8分

21．

（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°．   ??????????????????????????????????????????????? 2分

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠ADF．    ?????????????????????????????????????? 4分

∴△ABE∽△ADF        ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（2）∵△ABE∽△ADF，

∴∠BAG=∠DAH．

∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，

从而∠AGB=∠AHD．

∴△ABG≌△ADH．  ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．          ?????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

22．（1）∵都是正整数，且，∴．

∴，，，??????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（2）从，，，中任取两点作直线为：

，，，，，．

∴不同的直线共有6条．　??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（3）∵只有直线，与抛物线有公共点，

∴从（2）的所有直线中任取一条直线与抛物线有公共点的概率是　?????????? 12分

23．（1）由，解得，所以　?????????????????????????????????????????? 4分

（2），．

在△OCD中，，，

∴．　???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（3）取点A关于原点的对称点，则问题转化为求证．

由勾股定理可得，

，，，

∵，

∴△EOB是等腰直角三角形．

∴．　

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

24．（1）在△ABC中，∵，，．

∴，解得．　????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（2）①若AC为斜边，则，即，无解．

②若AB为斜边，则，解得，满足．

③若BC为斜边，则，解得，满足．

∴或．　??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（3）在△ABC中，作于D，设，△ABC的面积为S，则．

①若点D在线段AB上，则．

∴，即．

∴，即．

∴（）．　?????????????????? 11分

当时（满足），取最大值，从而S取最大值．?????????? 13分

②若点D在线段MA上，则．

同理可得，

（），

易知此时．

综合①②得，△ABC的最大面积为???????????????????????????????????????????????????????????? 14分