题目列表(包括答案和解析)
（本小题共14分）
如图，在三棱锥
中，
，
，
，
。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小。
（本小题共14分）
已知椭圆
的离心率为
（I）若原点到直线
的距离为
求椭圆的方程；
（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为
的直线
和椭圆交于A，B两点.
（i）当
，求b的值；
（ii）对于椭圆上任一点M，若
，求实数
满足的关系式.
（本小题共14分）
已知椭圆的中点在原点O，焦点在x轴上，点
是其左顶点，点C在椭圆上且
（I）求椭圆的方程；
（II）若平行于CO的直线
和椭圆交于M，N两个不同点，求
面积的最大值，并求此时直线的方程.
（本小题共14分）如图，在三棱锥
中，
底面
，点
，
分别在棱
上，且
（Ⅰ）求证：
平面
；（Ⅱ）当为
的中点时，求
与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角
为直二面角？并说明理由.
（本小题共14分）
设函数
。
（Ⅰ）若曲线
在点
处与直线
相切，求
的值；
（Ⅱ）求函数
的单调区间与极值点。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．
10．
11．5 10 12．
13．② 14．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共13分）
解：（Ⅰ）
．
因为函数
的最小正周期为
，且
，
所以
，解得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
因为
，
所以
，
所以
，
因此
，即的取值范围为
．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取
中点
，连结
．
，
．
，
．
，
平面
．
平面，
．
（Ⅱ），
，
．
又
，
．
又
，即
，且
，
平面
．
取
中点
．连结
．
，
．
是
在平面内的射影，
．
是二面角
的平面角．
在
中，
，
，
，
．
二面角的大小为
．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
平面，
平面
平面．
过
作
，垂足为
．
平面
平面
，
平面
．
的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知
，又，且
，
平面
．
平面，
．
在
中，
，
，
．
．
点到平面的距离为
．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系
．
则
．
设
．
，
，
．
取中点，连结．
，
，
，
．
是二面角的平面角．
，
，
，
．
二面角的大小为
．
（Ⅲ）
，
在平面内的射影为正
的中心，且
的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．
，
点的坐标为
．
．
点到平面的距离为．
17．（共13分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加
岗位服务为事件
，那么
，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是
．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么
，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
．
（Ⅲ）随机变量
可能取的值为1，2．事件“
”是指有两人同时参加岗位服务，
则
．
所以
，的分布列是
1
3
18．（共13分）
解：
．
令
，得
．
当
，即
时，
的变化情况如下表：
0
当
，即
时，的变化情况如下表：
0
所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当
，即
时，
，所以函数在上单调递减，在上单调递减．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得直线
的方程为
．
因为四边形
为菱形，所以
．
于是可设直线
的方程为
．
由
得
．
因为
在椭圆上，
所以
，解得
．
设两点坐标分别为
，
则
，
，
，
．
所以
．
所以的中点坐标为
．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以
，解得
．
所以直线的方程为
，即
．
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且
，
所以
．
所以菱形的面积
．
由（Ⅰ）可得
，
所以
．
所以当
时，菱形的面积取得最大值
．
20．（共13分）
（Ⅰ）解：
，
，
；
，
．
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为
，
则
为
，
，
，
，
，
从而
．
又
，
所以
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