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按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．
（I）求该班学生参加活动的人均次数；（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（III）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

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按照新课程的要求，高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动（以下简称活动）．某校高一•一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如条形图所示．
（ I）求该班学生参加活动的人均次数

.

x

；
（ II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
（ III）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．（要求：答案用最简分数表示）

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按照新课程的要求，高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动（以下简称活动）．某校高一•一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如条形图所示．
（ I）求该班学生参加活动的人均次数；
（ II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
（ III）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．（要求：答案用最简分数表示）

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一.选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

A

B

D

A

D

D

A

B

A

二.填空题

   13. .;       14. ;      15. 15;         16. ,可以填写任意实数

三、解答题

17．（Ⅰ）

(Ⅱ)

由得,从而,即 .所以,函数与轴交点的横坐标为.           12分

18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．

（I）该班学生参加活动的人均次数为=．     3分

（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．                                               6分

（III）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知

；                     8分

.                                     10分

的分布列：

0

1

2

的数学期望：．                            12分

19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分

（Ⅱ）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC

垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂线定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，。∴，

即二面角D′―BC―E的正切值为.                         12分

法二：如图，以EB，EC为x轴，y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，则

设平面BEC的法向量为；平面D′BC的法向量为

由.取 

∴。 

∴二面角D′―BC―E的的正切值为.

20. (Ⅰ）设C方程为，则b = 1.

∴椭圆C的方程为  …………………………………………………6分

（Ⅱ）假设存在直线,使得点是的垂心.易知直线的斜率为，从而直线的斜率为1.设直线的方程为，代如椭圆的方程，并整理可得.设，则，.于是

解之得或.

当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意.当时，经检验知和椭圆相交，符合题意.  所以，当且仅当直线的方程为时, 点是的垂心.        12分

21. （Ⅰ）注意到当时, 直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论.

(1) 当a>0时，函数y=, 的图象是开口向上的抛物线的一段，

由<0知在上单调递增，∴.

(2)当a=0时，, ,∴.      3分

(3)当a<0时,函数y=, 的图象是开口向下的抛物线的一段，

若，即则                4分

若，即,则       5分

若，即,则.              6分

综上有                                7分

（Ⅱ）当时，，所以， g(a)在上单调递增，于是由g(a)的不减性知等价于或

解之得或.所以，的取值范围为.               12分

22.(Ⅰ)对一切有，即  ,      ()                            4分

由及两式相减,得:

       ∴是等差数列,且, .                                    8分

说明:本小题也可以运用先猜后证(数学归纳法)的方法求解.给分时,猜想正确得3分,证明给5分.

(Ⅱ) 由,知,因此,只需证明.                                              10分

当或时,结论显然成立.当时,

所以,原不等式成立.                                                          14分