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在正三棱柱中，

求证：⑴；　　

（2）求二面角的正切值。

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一.选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

B

A

C

D

D

D

A

B

A

A

二.填空题

   13.4；        14. ；       15.15；     16.,可以填写任一实数.

三.解答题

17. （Ⅰ）列表：

2

6

10

14

0

1

3

1

1

描点作图，得图象如下.

6分

（Ⅱ）

所以,当,即时,函数取得最小值.     12分

18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．

（I）该班学生参加活动的人均次数为=．    6分

（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．                                              12分

19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

∴△BAE，△CDDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′.                  6分

（Ⅱ）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC

垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，

∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂线定理得：D′F⊥BC

∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，

∴，

即二面角D′―BC―E的正切值为.                              12分

法二：如图，以EB，EC为x轴，y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，

则

设平面BEC的法向量为；平面D′BC的法向量为

由

取

∴

∴二面角D′―BC―E的正切值为.                                 12分

20．（I），

   （II）由（I）知

21（Ⅰ）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.

∴椭圆C的方程为  …………………………………………………6分

（Ⅱ）易知直线的斜率为，从而直线的斜率为1.设直线的方程为，代如椭圆的方程，并整理可得.设，则，.于是

解之得或.

当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意.当时，经检验知和椭圆相交，符合题意.

所以，当且仅当直线的方程为时, 点是的垂心.        12分

22.(Ⅰ)对一切有

于是,                            

         ()   5分

(Ⅱ)由及

两式相减,得:

       ∴.                                10分

(Ⅲ) 由于，        

所以，   14分