例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解:由题意可设双曲线方程为,∵,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成: ——青夏教育精英家教网—

例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解:由题意可设双曲线方程为,∵,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成: (1),故只需求出a可求解.设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|= 在双曲线上,∴得|PQ|= (3),此时|PQ|2表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由.二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域y≥a或y≤-a,因此,需对a≤4与a>4分类讨论.可知函数在y=4处取得最小值,∴令,得a2=4∴所求双曲线方程为.可知函数在y=a处取得最小值,∴令,得a2=49,∴所求双曲线方程为.注:此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且过双曲线的顶点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）命题：“设、是双曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该双曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆的类似的正确命题，并加以证明和求出此定值；

（3）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.

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已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且过双曲线的顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）命题：“设、是双曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该双曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆的类似的正确命题，并加以证明和求出此定值；
（3）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.