设H是△ABC 的外心，A（1，0），B（-1，0），O为坐标原点，动点G满足：3=+，且=λ,λ∈R.

（1）求顶点C的轨迹E的方程；

（2）如图，从点D（，0）发射出一个质点m沿抛物线C₁：y=-ax²+h向上飞行到点P时,立即得到变轨指令，即开始沿着曲线E运动.两曲线C₁和E在公共点P处的切线相同.求抛物线C₁的方程.

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

如图，椭圆Q：（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．
（1）求点P的轨迹H的方程．
（2）在Q的方程中，令a²=1+cosq+sinq，b²=sinq（0＜q≤），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

查看答案和解析>>

如图，椭圆Q：（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．
（1）求点P的轨迹H的方程．
（2）在Q的方程中，令a²=1+cosq+sinq，b²=sinq（0＜q≤），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

查看答案和解析>>

1．不改变f(x)值域，即不能缩小原函数定义域。选项B，C，D均缩小了的定义域，故选A。

2．先作出f(x,y)=0关于轴对称的函数的图象，即为函数f(-x,y)=0的图象，又

f(2－x,y)=0即为，即由f(-x,y)=0向右平移2个单位。故选C。

3．命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时，。

    若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。

    若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1<a<2，故选C.

4．图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；

5．函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；

6．从反面考虑，注意应用特例，选B；

7．设tan＝x (x>0），则＋＝，解出x＝2，再用万能公式，选A；

8．利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则（,p）、(,q)、

(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；

9．设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；

10．设高h，由体积解出h＝2，答案：24；

11．设长x，则宽，造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。

12．运用条件知：=2，且

==16

13．依题意可知，从而可知，所以有

，又为正整数，取，则

，所以，从而，所以，又，所以，因此有最小值为。

下面可证时，，从而，所以, 又,所以,所以,综上可得:的最小值为11。

14．分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把f(x)分解为u=ax+2x+1和y=lgu 并结合其图象性质求解．

切实数x恒成立．   a=0或a＜0不合题意，

解得a＞1．

当a＜0时不合题意；    a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数；

a＞0时，其判别式Δ=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1．

所以当0≤a≤1时f(x)的值域是R．

15．分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件。

解：问题可变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1),  则

解得x∈（,）

说明 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。

一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。

16．分析： ①问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S是n的二次函数，将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。

解：① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以

S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，

S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。

 解得：－<d<－3。

② S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d

＝[n－(5－)]－[(5－)]

因为d<0，故[n－(5－)]最小时，S最大。由－<d<－3得6<(5－)<6.5，故正整数n＝6时[n－(5－)]最小，所以S最大。

说明： 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。

本题的另一种思路是寻求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a＋a)>0得a>0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。

17．分析：异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。

  P

         M
A        H       B
     D     C

解：在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，

设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。

∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ＝(sinθ＋1)[x－]＋

即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。

说明：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。

18．分析：已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。

解： 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；

由△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA?tanB?tanC，得

tanA＋tanC＝tanB(tanA?tanC－1)＝ (1＋)

设tanA、tanC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的两根，解得x＝1，x＝2＋

设A<C，则tanA＝1，tanC＝2＋，   ∴A＝，C＝

由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4＋4。

说明：本题的解答关键是利用“△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA?tanB?tanC”这一条性质得到tanA＋tanC，从而设立方程求出tanA和tanC的值，使问题得到解决。

19．分析：当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。

解：由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，

即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。

设t＝(),  则t≥，   又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－

∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根，  即 g()＝()＋＋a>0，得a>－

所以a的取值范围是a>－。

说明：对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。

在解决不等式()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t＝(),  t≥，则有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范围是a>－。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”。

20．解：f(x)=cosqsinx－(sinxcosq－cosxsinq)+(tanq－2)sinx－sinq

       =sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq

因为f(x)是偶函数，

所以对任意xÎR，都有f(－x)=f(x)，

即sinqcos(－x)+(tanq－2)sin(－x)－sinq=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq,

即(tanq－2)sinx=0，

所以tanq=2

由

解得或

此时，f(x)=sinq(cosx－1).

当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；

当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最小值为0，

当cosx=－1时，f(x)有最大值为,

自变量x的集合为{x|x=2kp+p,kÎZ}．

21．解：（1）；．，
若上是增函数，则恒成立，即
若上是减函数，则恒成立，这样的不存在．
综上可得：．

（2）（证法一）设，由得，于是有，（1）－（2）得：，化简可得
，，，故，即有．

（证法二）假设，不妨设，由（1）可知在

上单调递增，故，

这与已知矛盾，故原假设不成立，即有．