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（本小题满分12分）
设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点。

（1）求证：三点共线；
（2）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在曲线方程。

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一.   选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

D

B

A

A

D

C

D

A

C

C

B

1．.因所以对应的点在第四象限，

2．.因，

3．.令，则，

4．.

5. . ，，…，

6．D.  函数

7． .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则

又,所以

8．. 常数项为

9. A.

10．. 解：①③④正确，②错误。易求得、到球心的距离分别为3、2，若两弦交于，则⊥，中，有，矛盾。当、、共线时分别取最大值5最小值1。

11. . 一天显示的时间总共有种,和为23总共有4种,故所求概率为.

12．. 解：当时，显然不成立

当时，因当即时结论显然成立；

当时只要即可

即

则

二.   填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.        14.         15.       16. B、D

13. 由已知得,则

14．

15.

16． 解：真命题的代号是：   BD  。易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。

三.   解答题：本大题共6小题，共74分。

17.解：由得

∴   ∴

∴，又

∴

由得

即   ∴

由正弦定理得

18.解：（1）的所有取值为

的所有取值为,

、的分布列分别为：

0.8

0.9

1.0

1.125

1.25

P

0.2

0.15

0.35

0.15

0.15

0.8

0.96

1.0

1.2

1.44

P

0.3

0.2

0.18

0.24

0.08

（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，

,

可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大

（3）令表示方案所带来的效益，则

10

15

20

P

0.35

0.35

0.3

10

15

20

P

0.5

0.18

0.32

所以

可见，方案一所带来的平均效益更大。

19．解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，

，

依题意有①

由知为正有理数，故为的因子之一，

解①得

故

（2）

∴

20．解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，

则∥平面，所以∥。

又是的中点，所以⊥，则⊥。

因为⊥，⊥，

所以⊥面，则⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，连。因为⊥平面，

根据三垂线定理知，⊥，

就是二面角的平面角。

作⊥于，则∥，则是的中点，则。

设，由得，，解得，

在中，，则，。

所以，故二面角为。

解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故：平面

(2)由已知设

则

由与共线得:存在有得

同理:

设是平面的一个法向量,

则令得 

又是平面的一个法量

所以二面角的大小为

（3）由（2）知，，，平面的一个法向量为。

则。

则点到平面的距离为

21．证明：（1）设，由已知得到，且，，

设切线的方程为：由得

从而,解得

因此的方程为：

同理的方程为：

又在上，所以，

即点都在直线上

又也在直线上,所以三点共线

（2）垂线的方程为：，

由得垂足，

设重心

所以     解得

由 可得即为重心所在曲线方程

22．解：、当时，，求得 ，

于是当时，；而当 时，．

即在中单调递增，而在中单调递减．    

（2）.对任意给定的，，由 ，

若令 ，则   … ① ，而     …  ②

（一）、先证；因为，，，

又由  ，得 ．

所以

．

（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则

（?）、当，则，所以，因为 ，

，此时．

 （?）、当 …③，由①得 ,，，

因为   所以   … ④

 同理得 …  ⑤ ，于是   … ⑥

今证明   …  ⑦, 因为  ，

只要证  ，即 ，也即 ，据③，此为显然．

 因此⑦得证．故由⑥得 ．

综上所述，对任何正数，皆有．