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    22． 已知函数＝++.x∈． (1)当时.求的单调区间, (2)对任意正数.证明:． 2008年普通高等学校招生全国统一考试 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该

     

    函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．

    （1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；

     

    （2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

     

    （3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的

     

    函数的特例．

    （4）（理科生做）研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你

     

    的研究结论）．

     

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    （本小题满分14分）已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该
    函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．
    （1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；
    （2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
    （3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的
    函数的特例．
    （4）（理科生做）研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你
    的研究结论）．

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    （本小题满分14分）已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该
    函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．
    （1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；
    （2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
    （3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的
    函数的特例．
    （4）（理科生做）研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你
    的研究结论）．

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    （本小题满分14分）已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)·ex的定义域为[－2，t](t>－2)，设f(－2)＝m，f(t)＝n.

    (1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调函数；

    (2)求证：n>m；

    (3)若t为自然数，则当t取哪些值时，方程f(x)－m＝0(m∈R)在[－2，t]上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数m的取值范围.

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    15．（本小题满分14分）

    已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx－(xÎR)．

    （1）若xÎ(0，)，求f(x)的最大值；

    （2）在△ABC中，若A＜B，f(A)＝f(B)＝，求的值．

     

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    一.   选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

     

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    D

    D

    B

    A

    A

    D

    C

    D

    A

    C

    C

    B

    1．.因所以对应的点在第四象限，

    2．.因，

    3．.令，则，

    4．.

    5. . ，，…，

    6．D.  函数

    7． .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则

    又,所以

    8．. 常数项为

    9. A.

     

    10．. 解：①③④正确，②错误。易求得、到球心的距离分别为3、2，若两弦交于，则⊥，中，有，矛盾。当、、共线时分别取最大值5最小值1。

    11. . 一天显示的时间总共有种,和为23总共有4种,故所求概率为.

    12．. 解：当时，显然不成立

    当时，因当即时结论显然成立；

    当时只要即可

    即

    则

    二.   填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

    13.        14.         15.       16. B、D

    13. 由已知得,则

    14．

    15.

    16． 解：真命题的代号是：   BD  。易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。

    三.   解答题：本大题共6小题，共74分。

    17.解：由得

    ∴   ∴

    ∴，又

    ∴

    由得

    即   ∴

    由正弦定理得

    18.解：（1）的所有取值为

    的所有取值为,

    、的分布列分别为：

    0.8

    0.9

    1.0

    1.125

    1.25

    P

    0.2

    0.15

    0.35

    0.15

    0.15

     

    0.8

    0.96

    1.0

    1.2

    1.44

    P

    0.3

    0.2

    0.18

    0.24

    0.08

     

    （2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，

    ,

    可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大

    （3）令表示方案所带来的效益，则

    10

    15

    20

    P

    0.35

    0.35

    0.3

     

    10

    15

    20

    P

    0.5

    0.18

    0.32

     

    所以

    可见，方案一所带来的平均效益更大。

    19．解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，

    ，

    依题意有①

    由知为正有理数，故为的因子之一，

    解①得

    故

    （2）

    ∴

    20．解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，

    则∥平面，所以∥。

    又是的中点，所以⊥，则⊥。

    因为⊥，⊥，

    所以⊥面，则⊥，

    因此⊥面。

    （2）作⊥于，连。因为⊥平面，

    根据三垂线定理知，⊥，

    就是二面角的平面角。

    作⊥于，则∥，则是的中点，则。

    设，由得，，解得，

    在中，，则，。

    所以，故二面角为。

     

    解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

    所以

    所以

    所以平面

    由∥得∥，故：平面

     

    (2)由已知设

    则

    由与共线得:存在有得

     

    同理:

    设是平面的一个法向量,

    则令得 

    又是平面的一个法量

    所以二面角的大小为

    （3）由（2）知，，，平面的一个法向量为。

    则。

    则点到平面的距离为

     

    21．证明：（1）设，由已知得到，且，，

    设切线的方程为：由得

    从而,解得

    因此的方程为：

    同理的方程为：

    又在上，所以，

    即点都在直线上

    又也在直线上,所以三点共线

    （2）垂线的方程为：，

    由得垂足，

    设重心

    所以     解得

    由 可得即为重心所在曲线方程

     

    22．解：、当时，，求得 ，

    于是当时，；而当 时，．

    即在中单调递增，而在中单调递减．    

    （2）.对任意给定的，，由 ，

    若令 ，则   … ① ，而     …  ②

    （一）、先证；因为，，，

    又由  ，得 ．

    所以

    ．

    （二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则

    （?）、当，则，所以，因为 ，

    ，此时．

     （?）、当 …③，由①得 ,，，

    因为   所以   … ④

     同理得 …  ⑤ ，于是   … ⑥

    今证明   …  ⑦, 因为  ，

    只要证  ，即 ，也即 ，据③，此为显然．

     因此⑦得证．故由⑥得 ．

    综上所述，对任何正数，皆有．

     

     


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