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    11．已知函数.且则等于 A．0 B．1 C．50 D．100 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f（x）=lnx-
    1
    2
    ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0
    （1）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的单调区间；
    （2）设函数f（x）的最大值为g（a），试证明不等式：g（a）＞ln（1+
    a
    2
    ）-1
    （3）首先阅读材料：对于函数图象上的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数图象上存在点M（x0，y0）（x0∈（x1，x2）），使得f（x）在点M处的切线l∥AB，则称AB存在“相依切线”特别地，当x0=
    x1+x2
    2
    时，则称AB存在“中值相依切线”．请问在函数f（x）的图象上是否存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”？若存在，求出一组A、B的坐标；若不存在，说明理由．

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    已知函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b），且f（x）＞0（x∈R）若f(1)=
    12
    ，则f（-2）等于
     
    ．

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    已知函数f（x）的定义域为（-2，2），其导函数f′（x）=x2+2cosx且f（0）=0，则关于实数x的不等式f（x-2）+f（x2-2x）＞0的解集为（　　）

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    已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
    （1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
    （2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-
    f(x2)-f(x1)
    x2-x1
    =0    在（x1，x2）恒有实数解
    （3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=
    f(b)-f(a)
    b-a
    ．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
    当0＜a＜b时，
    b-a
    b
    ＜ln
    b
    a
    ＜
    b-a
    a
    （可不用证明函数的连续性和可导性）．

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    已知函数f（x）=1+logax（a＞0且a≠1），f-1（x）是f（x）的反函数，若y=f-1（x）的图象过点（3，4），则a等于（ ）
    A．
    B．
    C．
    D．2

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    数学（文）

    第I卷（共60分）

    一、选择题（每小题5分，共60分）

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    A

    B

    D

    B

    A

    A

    D

    A

    C

    B

    A

    A

    第Ⅱ卷（共90分）

    二、填空题（每小题4分，共16分）

    13．6ec8aac122bd4f6e     14．3        15．97       16．③

    三、解答题（共74分）

    17．（本小题满分12分）

       （I）6ec8aac122bd4f6e的内角和6ec8aac122bd4f6e。

            6ec8aac122bd4f6e，

            6ec8aac122bd4f6e

       （Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e

             6ec8aac122bd4f6e

             当6ec8aac122bd4f6e即6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e取最大值6ec8aac122bd4f6e

    18．（本题满分12分）

        记A：该夫妇生一个小孩是患病男孩，B：该夫妇生一个小孩是患病女孩：C：该夫妇生一个小孩是不患病男孩；D：该夫妇生一个小孩是不患病女孩，则

        6ec8aac122bd4f6e

       （I）6ec8aac122bd4f6e

              6ec8aac122bd4f6e

              6ec8aac122bd4f6e

       （Ⅱ）该夫妇所生的前两个是患病男孩，后一个患病女孩的概率为6ec8aac122bd4f6e，所以

                 6ec8aac122bd4f6e

    19．（本题满分12分）

    解法一：（I）证明：连接6ec8aac122bd4f6e，设6ec8aac122bd4f6e，连接DE

    6ec8aac122bd4f6e     6ec8aac122bd4f6e三棱柱6ec8aac122bd4f6e是正三棱柱，且6ec8aac122bd4f6e，

         6ec8aac122bd4f6e四边形6ec8aac122bd4f6e是正方形，

         ∴E是6ec8aac122bd4f6e的中点，又6ec8aac122bd4f6e是6ec8aac122bd4f6e的中点，

         ∴6ec8aac122bd4f6e

         ∵6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，

         ∴6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e

    （Ⅱ）解：在平面6ec8aac122bd4f6e内作6ec8aac122bd4f6e于点6ec8aac122bd4f6e，在面6ec8aac122bd4f6e；内作6ec8aac122bd4f6e于6ec8aac122bd4f6e连接6ec8aac122bd4f6e。

         ∵平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，∴6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，

         ∵6ec8aac122bd4f6e是6ec8aac122bd4f6e在平面6ec8aac122bd4f6e上的射影，6ec8aac122bd4f6e

         ∴6ec8aac122bd4f6e是二面角6ec8aac122bd4f6e的平面角

         设6ec8aac122bd4f6e在正6ec8aac122bd4f6e中，6ec8aac122bd4f6e

         在6ec8aac122bd4f6e中，6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e中，6ec8aac122bd4f6e

         从而6ec8aac122bd4f6e

         所以，二面角6ec8aac122bd4f6e的平面角的余弦值为6ec8aac122bd4f6e

    解法二：建立空间直角坐标系6ec8aac122bd4f6e，如图，

    （I）证明：连接6ec8aac122bd4f6e设6ec8aac122bd4f6e，连接6ec8aac122bd4f6e，设6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e    则6ec8aac122bd4f6e

        6ec8aac122bd4f6e

        6ec8aac122bd4f6e

        6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e

    （Ⅱ）解：∵6ec8aac122bd4f6e

          设6ec8aac122bd4f6e是平面6ec8aac122bd4f6e的法向量，则6ec8aac122bd4f6e，且6ec8aac122bd4f6e

          故6ec8aac122bd4f6e，取6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e；

          同理，可求得平面6ec8aac122bd4f6e的法向量是6ec8aac122bd4f6e

          设二面角6ec8aac122bd4f6e的大小为6ec8aac122bd4f6e，则6ec8aac122bd4f6e

          所以，二面角6ec8aac122bd4f6e的平面角的余弦值为6ec8aac122bd4f6e

    20．（本题满分12分）

       （I）6ec8aac122bd4f6e，依题意，6ec8aac122bd4f6e，即

            6ec8aac122bd4f6e

            解得6ec8aac122bd4f6e

            6ec8aac122bd4f6e

            令6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e或6ec8aac122bd4f6e列表可得：

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    1

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    +

    0

    ―

    0

    +

    6ec8aac122bd4f6e

    递增

    极大

    递减

    极小

    递增

            所以，6ec8aac122bd4f6e是极大值；6ec8aac122bd4f6e是极小值

      （Ⅱ）曲线方程为6ec8aac122bd4f6e点6ec8aac122bd4f6e不在曲线上，

            设切点为6ec8aac122bd4f6e，则点6ec8aac122bd4f6e的坐标满足6ec8aac122bd4f6e

            因6ec8aac122bd4f6e，故切线的方程为6ec8aac122bd4f6e

            注意到点6ec8aac122bd4f6e在切线上，有6ec8aac122bd4f6e

            化简得6ec8aac122bd4f6e，解得6ec8aac122bd4f6e

    21．（本题满分12分）

      （I）将6ec8aac122bd4f6e代入6ec8aac122bd4f6e得6ec8aac122bd4f6e，整理得

          6ec8aac122bd4f6e

          由6ec8aac122bd4f6e得6ec8aac122bd4f6e，故

    6ec8aac122bd4f6e

    （Ⅱ）当两条切线的斜率都存在而且不等于6ec8aac122bd4f6e时，设其中一条的斜率为k，

          则另外一条的斜率为6ec8aac122bd4f6e

          于是由上述结论可知椭圆斜率为k的切线方程为

          6ec8aac122bd4f6e    ①

          又椭圆斜率为6ec8aac122bd4f6e的切线方程为

          6ec8aac122bd4f6e    ②

           由①得6ec8aac122bd4f6e

           由②得6ec8aac122bd4f6e

    两式相加得6ec8aac122bd4f6e

          于是，所求P点坐标6ec8aac122bd4f6e满足6ec8aac122bd4f6e因此，6ec8aac122bd4f6e

          当一条切线的斜率不存在时，另一条切线的斜率必为0，此时显然也有6ec8aac122bd4f6e

          所以6ec8aac122bd4f6e为定值。

     

    22．（本题满分14分）

     （I）由6ec8aac122bd4f6e知6ec8aac122bd4f6e

          当6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e，化简得

          6ec8aac122bd4f6e  ①

          以6ec8aac122bd4f6e代替6ec8aac122bd4f6e得

          6ec8aac122bd4f6e   ②

          两式相减得

          6ec8aac122bd4f6e

          则6ec8aac122bd4f6e，其中6ec8aac122bd4f6e

          所以，数列6ec8aac122bd4f6e为等差数列

     （Ⅱ）由6ec8aac122bd4f6e，结合（I）的结论知6ec8aac122bd4f6e

           于是，6ec8aac122bd4f6e

           6ec8aac122bd4f6e

           所以，原不等式成立

    其他解法参照以上评分标准评分

     

     

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