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    12．对于集合.称为开集.当且仅当任意.存在正数.使得.已知集合..则 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    定义：若平面点集中的任一个点，总存在正实数，使得集合，则称为一个开集.给出下列集合：

    ①；②；③；

    ④.  其中是开集的是（     ）

    A．①④         B．②③         C．②④         D．③④

     

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    对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得，.特别地，当时，称b能整除a，记作，已知
    （1）存在，使得，试求，的值；
    （2）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；
    （3）若，(指集合B中的元素的个数)，且存在，则称为“和谐集”，.求最大的，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．

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    在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α=（a，b），β=（c，d），规定：α⊙β=（ad+bc，bd-ac）．
    （1）计算：（2，3）⊙（-1，4）．
    （2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律，并给出证明．
    （3）若“A中的元素I=（x，y）”是“对?α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要条件，试求出元素I．

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    （2012•安徽模拟）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：
    ①集合A={-4，-2，0，2，4}为闭集合；
    ②正整数集是闭集合；
    ③集合A={n|n=3k，k∈Z}是闭集合；
    ④若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；
    ⑤若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．
    其中正确的结论的序号是
    ②③⑤
    ②③⑤
    ．

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    2、对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A}，且x∉B叫做集合A与B的差集，记做A-B，若A-B=∅，则集合A与B之间的关系是
    A⊆B
    ．

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    数学（文）

    第I卷（共60分）

    一、选择题（每小题5分，共60分）

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    A

    B

    D

    B

    A

    A

    D

    A

    C

    B

    A

    A

    第Ⅱ卷（共90分）

    二、填空题（每小题4分，共16分）

    13．6ec8aac122bd4f6e     14．3        15．97       16．③

    三、解答题（共74分）

    17．（本小题满分12分）

       （I）6ec8aac122bd4f6e的内角和6ec8aac122bd4f6e。

            6ec8aac122bd4f6e，

            6ec8aac122bd4f6e

       （Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e

             6ec8aac122bd4f6e

             当6ec8aac122bd4f6e即6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e取最大值6ec8aac122bd4f6e

    18．（本题满分12分）

        记A：该夫妇生一个小孩是患病男孩，B：该夫妇生一个小孩是患病女孩：C：该夫妇生一个小孩是不患病男孩；D：该夫妇生一个小孩是不患病女孩，则

        6ec8aac122bd4f6e

       （I）6ec8aac122bd4f6e

              6ec8aac122bd4f6e

              6ec8aac122bd4f6e

       （Ⅱ）该夫妇所生的前两个是患病男孩，后一个患病女孩的概率为6ec8aac122bd4f6e，所以

                 6ec8aac122bd4f6e

    19．（本题满分12分）

    解法一：（I）证明：连接6ec8aac122bd4f6e，设6ec8aac122bd4f6e，连接DE

    6ec8aac122bd4f6e     6ec8aac122bd4f6e三棱柱6ec8aac122bd4f6e是正三棱柱，且6ec8aac122bd4f6e，

         6ec8aac122bd4f6e四边形6ec8aac122bd4f6e是正方形，

         ∴E是6ec8aac122bd4f6e的中点，又6ec8aac122bd4f6e是6ec8aac122bd4f6e的中点，

         ∴6ec8aac122bd4f6e

         ∵6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，

         ∴6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e

    （Ⅱ）解：在平面6ec8aac122bd4f6e内作6ec8aac122bd4f6e于点6ec8aac122bd4f6e，在面6ec8aac122bd4f6e；内作6ec8aac122bd4f6e于6ec8aac122bd4f6e连接6ec8aac122bd4f6e。

         ∵平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，∴6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，

         ∵6ec8aac122bd4f6e是6ec8aac122bd4f6e在平面6ec8aac122bd4f6e上的射影，6ec8aac122bd4f6e

         ∴6ec8aac122bd4f6e是二面角6ec8aac122bd4f6e的平面角

         设6ec8aac122bd4f6e在正6ec8aac122bd4f6e中，6ec8aac122bd4f6e

         在6ec8aac122bd4f6e中，6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e中，6ec8aac122bd4f6e

         从而6ec8aac122bd4f6e

         所以，二面角6ec8aac122bd4f6e的平面角的余弦值为6ec8aac122bd4f6e

    解法二：建立空间直角坐标系6ec8aac122bd4f6e，如图，

    （I）证明：连接6ec8aac122bd4f6e设6ec8aac122bd4f6e，连接6ec8aac122bd4f6e，设6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e    则6ec8aac122bd4f6e

        6ec8aac122bd4f6e

        6ec8aac122bd4f6e

        6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e

    （Ⅱ）解：∵6ec8aac122bd4f6e

          设6ec8aac122bd4f6e是平面6ec8aac122bd4f6e的法向量，则6ec8aac122bd4f6e，且6ec8aac122bd4f6e

          故6ec8aac122bd4f6e，取6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e；

          同理，可求得平面6ec8aac122bd4f6e的法向量是6ec8aac122bd4f6e

          设二面角6ec8aac122bd4f6e的大小为6ec8aac122bd4f6e，则6ec8aac122bd4f6e

          所以，二面角6ec8aac122bd4f6e的平面角的余弦值为6ec8aac122bd4f6e

    20．（本题满分12分）

       （I）6ec8aac122bd4f6e，依题意，6ec8aac122bd4f6e，即

            6ec8aac122bd4f6e

            解得6ec8aac122bd4f6e

            6ec8aac122bd4f6e

            令6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e或6ec8aac122bd4f6e列表可得：

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    1

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    +

    0

    ―

    0

    +

    6ec8aac122bd4f6e

    递增

    极大

    递减

    极小

    递增

            所以，6ec8aac122bd4f6e是极大值；6ec8aac122bd4f6e是极小值

      （Ⅱ）曲线方程为6ec8aac122bd4f6e点6ec8aac122bd4f6e不在曲线上，

            设切点为6ec8aac122bd4f6e，则点6ec8aac122bd4f6e的坐标满足6ec8aac122bd4f6e

            因6ec8aac122bd4f6e，故切线的方程为6ec8aac122bd4f6e

            注意到点6ec8aac122bd4f6e在切线上，有6ec8aac122bd4f6e

            化简得6ec8aac122bd4f6e，解得6ec8aac122bd4f6e

    21．（本题满分12分）

      （I）将6ec8aac122bd4f6e代入6ec8aac122bd4f6e得6ec8aac122bd4f6e，整理得

          6ec8aac122bd4f6e

          由6ec8aac122bd4f6e得6ec8aac122bd4f6e，故

    6ec8aac122bd4f6e

    （Ⅱ）当两条切线的斜率都存在而且不等于6ec8aac122bd4f6e时，设其中一条的斜率为k，

          则另外一条的斜率为6ec8aac122bd4f6e

          于是由上述结论可知椭圆斜率为k的切线方程为

          6ec8aac122bd4f6e    ①

          又椭圆斜率为6ec8aac122bd4f6e的切线方程为

          6ec8aac122bd4f6e    ②

           由①得6ec8aac122bd4f6e

           由②得6ec8aac122bd4f6e

    两式相加得6ec8aac122bd4f6e

          于是，所求P点坐标6ec8aac122bd4f6e满足6ec8aac122bd4f6e因此，6ec8aac122bd4f6e

          当一条切线的斜率不存在时，另一条切线的斜率必为0，此时显然也有6ec8aac122bd4f6e

          所以6ec8aac122bd4f6e为定值。

     

    22．（本题满分14分）

     （I）由6ec8aac122bd4f6e知6ec8aac122bd4f6e

          当6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e，化简得

          6ec8aac122bd4f6e  ①

          以6ec8aac122bd4f6e代替6ec8aac122bd4f6e得

          6ec8aac122bd4f6e   ②

          两式相减得

          6ec8aac122bd4f6e

          则6ec8aac122bd4f6e，其中6ec8aac122bd4f6e

          所以，数列6ec8aac122bd4f6e为等差数列

     （Ⅱ）由6ec8aac122bd4f6e，结合（I）的结论知6ec8aac122bd4f6e

           于是，6ec8aac122bd4f6e

           6ec8aac122bd4f6e

           所以，原不等式成立

    其他解法参照以上评分标准评分

     

     

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