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(12分)设直线与椭圆相切。 （I）试将用表示出来； （Ⅱ）若经过动点可以向椭圆引两条互相垂直的切线，为坐标原点，求证：为定值。

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（2013•成都二模）如图，某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项 测试．这25位学生的考分编成的茎叶图，其中 有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同．
（I）求这两个班学生成绩的中位数及x的值；
（II）如果将这些成绩分为“优秀”（得分在175分 以上，包括175分）和“过关”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这 3人中甲班至多有一人入选的概率．

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数学（文）

第I卷（共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

B

D

B

A

A

D

A

C

B

A

A

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．     14．3        15．97       16．③

三、解答题（共74分）

17．（本小题满分12分）

   （I）的内角和。

        ，

   （Ⅱ）

         当即时，取最大值

18．（本题满分12分）

    记A：该夫妇生一个小孩是患病男孩，B：该夫妇生一个小孩是患病女孩：C：该夫妇生一个小孩是不患病男孩；D：该夫妇生一个小孩是不患病女孩，则

   （I）

   （Ⅱ）该夫妇所生的前两个是患病男孩，后一个患病女孩的概率为，所以

19．（本题满分12分）

解法一：（I）证明：连接，设，连接DE

     三棱柱是正三棱柱，且，

     四边形是正方形，

     ∴E是的中点，又是的中点，

     ∴

     ∵平面平面，

     ∴平面

（Ⅱ）解：在平面内作于点，在面；内作于连接。

     ∵平面平面，∴平面，

     ∵是在平面上的射影，

     ∴是二面角的平面角

     设在正中，

     在中，在中，

     从而

     所以，二面角的平面角的余弦值为

解法二：建立空间直角坐标系，如图，

（I）证明：连接设，连接，设

    则

    平面平面平面

（Ⅱ）解：∵

      设是平面的法向量，则，且

      故，取，得；

      同理，可求得平面的法向量是

      设二面角的大小为，则

      所以，二面角的平面角的余弦值为

20．（本题满分12分）

   （I），依题意，，即

        解得

        令，得或列表可得：

1

+

0

―

0

+

递增

极大

递减

极小

递增

        所以，是极大值；是极小值

  （Ⅱ）曲线方程为点不在曲线上，

        设切点为，则点的坐标满足

        因，故切线的方程为

        注意到点在切线上，有

        化简得，解得

21．（本题满分12分）

  （I）将代入得，整理得

      由得，故

（Ⅱ）当两条切线的斜率都存在而且不等于时，设其中一条的斜率为k，

      则另外一条的斜率为

      于是由上述结论可知椭圆斜率为k的切线方程为

          ①

      又椭圆斜率为的切线方程为

          ②

       由①得

       由②得

两式相加得

      于是，所求P点坐标满足因此，

      当一条切线的斜率不存在时，另一条切线的斜率必为0，此时显然也有

      所以为定值。

22．（本题满分14分）

 （I）由知

      当时，，化简得

        ①

      以代替得

         ②

      两式相减得

      则，其中

      所以，数列为等差数列

 （Ⅱ）由，结合（I）的结论知

       于是，

       所以，原不等式成立

其他解法参照以上评分标准评分

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