题目列表(包括答案和解析)
直线a∥平面的一个充分条件是( )
A.存在一条直线b,b∥,a∥b
B.存在一个平面,,∥
C.存在一个平面,a∥,∥
D.存在一条直线b,,a∥b
一、选择题
1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.C
7.D 8.C 9.C 10.C
二、填空题
11. 12. 13. 14.2 15.30°
三、解答题
16.解:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,
由为锐角三角形得.………………………………………………7分
(Ⅱ)根据余弦定理,得.
所以,.………………………………………………14分
17.解:(Ⅰ)记表示事件:“位顾客中至少位采用一次性付款”,则表示事件:“位顾客中无人采用一次性付款”.
,
.………………………………………………7分
(Ⅱ)记表示事件:“位顾客每人购买件该商品,商场获得利润不超过元”.
表示事件:“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”.
表示事件:“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”.
则.
,.
.……………………………………14分
18.解法一:(1)作,垂足为,连结,由侧面底面,得底面.
因为,所以,又,故为等腰直角三角形,,
由三垂线定理,得.………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
依题设,
故,由,,.
又,作,垂足为,
则平面,连结.为直线与平面所成的角.
所以,直线与平面所成角的正弦值为.………………………………………………14分
解法二:(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,得平面.
因为,所以.
又,为等腰直角三角形,.
如图,以为坐标原点,为轴正向,建立直角坐标系,
因为,,
又,所以,
,.
,,,,所以.…………………7分
(Ⅱ),.
与的夹角记为,与平面所成的角记为,因为为平面的法向量,所以与互余.
,,
所以,直线与平面所成角的正弦值为.………………………14分
19.解:(Ⅰ),
因为函数在及取得极值,则有,.
即
解得,.………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
.
当时,;
当时,;
当时,.
所以,当时,取得极大值,又,.
则当时,的最大值为.
因为对于任意的,有恒成立,
所以 ,
解得 或,
因此的取值范围为.………………………14分
20.解:(Ⅰ)设的公差为,的公比为,则依题意有且
解得,.
所以,
.………………………6分
(Ⅱ).
,①
,②
②-①得,
.………………………12分
21.证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,
由知点在以线段为直径的圆上,
故,
所以,.………………………6分
(Ⅱ)(?)当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得.
设,,则
,,
;
因为与相交于点,且的斜率为.
所以,.
四边形的面积
.
当时,上式取等号.………………………10分
(?)当的斜率或斜率不存在时,四边形的面积.……………………11分
综上,四边形的面积的最小值为.………………………12分
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