题目列表(包括答案和解析)
过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于
两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
Ａ．有且仅有一条 Ｂ．有且仅有两条
Ｃ．有无穷多条 Ｄ．不存在
，
是两条异面直线，
是不在，上的点，则下列结论成立的是（ ）
Ａ．过且平行于和的平面可能不存在
Ｂ．过有且只有一个平面平行于和
Ｃ．过至少有一个平面平行于和
Ｄ．过有无数个平面平行于和
下列说法中，正确的个数是（ ）
①存在一个实数，使
；
②所有的质数都是奇数；
③斜率相等的两条直线都平行；
④至少存在一个正整数，能被５和７整除。
Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４下列说法中，正确的个数是（ ）
①存在一个实数，使
；
②所有的质数都是奇数；
③斜率相等的两条直线都平行；
④至少存在一个正整数，能被５和７整除。
Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４
平面
的一个充分条件是
一、选择题
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．B 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｃ 9．C 10．C
二、填空题
11．
12．
13．
14．2 15．30°
三、解答题
16．解：（Ⅰ）由
，根据正弦定理得
，所以
，
由
为锐角三角形得
．………………………………………………7分
（Ⅱ）根据余弦定理，得
．
所以，
．………………………………………………14分
17．解：（Ⅰ）记
表示事件：“位顾客中至少
位采用一次性付款”，则
表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
，
．………………………………………………7分
（Ⅱ）记
表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过
元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则
．
，
．
．……………………………………14分
18．解法一：（1）作
，垂足为
，连结
，由侧面
底面
，得
底面．
因为
，所以
，又
，故
为等腰直角三角形，
，
由三垂线定理，得
．………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依题设
，
故
，由
，
，
．
又
，作
，垂足为
，
则
平面
，连结
．
为直线
与平面所成的角．
所以，直线与平面所成角的正弦值为
．………………………………………………14分
解法二：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，
．
如图，以为坐标原点，
为
轴正向，建立直角坐标系
，
因为
，
，
又
，所以
，
，
．
，
，
，
，所以．…………………7分
（Ⅱ）
，
.
与
的夹角记为
，与平面
所成的角记为
，因为为平面的法向量，所以与互余．
，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．………………………14分
19．解：（Ⅰ）
，
因为函数
在
及
取得极值，则有
，
．
即
解得
，
．………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，
．
当
时，
；
当
时，
；
当
时，．
所以，当时，取得极大值
，又
，
．
则当
时，的最大值为．
因为对于任意的，有
恒成立，
所以 
，
解得 
或
，
因此
的取值范围为
．………………………14分
20．解：（Ⅰ）设
的公差为
，
的公比为
，则依题意有
且
解得
，
．
所以
，
．………………………6分
（Ⅱ）
．
，①
，②
②－①得
，
．………………………12分
21．证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距
，
由
知点
在以线段
为直径的圆上，
故
，
所以，
．………………………6分
（Ⅱ）（?）当
的斜率
存在且
时，的方程为
，代入椭圆方程
，并化简得
．
设
，
，则
，
，
；
因为
与
相交于点
，且的斜率为
．
所以，
．
四边形的面积
．
当
时，上式取等号．………………………10分
（?）当的斜率
或斜率不存在时，四边形的面积
．……………………11分
综上，四边形的面积的最小值为
．………………………12分
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