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已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：
①对任意的，总有；
②；
③当，且时，成立．
称这样的函数为“友谊函数”．
请解答下列各题：
(1)已知为“友谊函数”，求的值；
(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？请给出理由；
(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得，且，求证：.

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一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．选择题：CCDAB   CBDAD

1．则选C.

2．将各选项代入检验易得答案选C.

3．由函数以为周期，可排除A、B，由函数在为增函数，可排除C,故选D。

5．正确命题有②、④,故选B.

6．或

或，故选C。

7．将圆的方程化为标准方程得，由数形结合不难得出所求的距离差为已知圆的直径长.,故选B.

8．该程序的功能是求和,因输出结果，故选D.

9．如图设点P为AB的三等分点，要使△PBC的面积不小于，则点P只能在

AP上选取，由几何概型的概率

公式得所求概率为.故选A.

10．如图：易得答案选D.

二．填空题：11.800、20％；12. 3；13. ①③④⑤；14. ； 15.

11．由率分布直方图知，及格率＝＝80％，

及格人数＝80％×1000＝800，优秀率＝％.

12．由得

由，得

13．显然①可能，②不可能，③④⑤如右图知都有可能。

14．在平面直角坐标系中，曲线和分别表示圆和直线，易知＝

15． C为圆周上一点，AB是直径，所以AC⊥BC，而BC＝3，AB＝6，得∠BAC＝30°,进而得∠B＝60°，所以∠DCA＝60°，又∠ADC＝90°，得∠DAC＝30°，

三．解答题：

16．解：（1）

              ------------------------4分

（2）∵，

∴,

由正弦定理得：

∴------------6分

如图过点B作垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。

在中，∵,------------8分

∴＝

       （米）

∴该河段的宽度米。---------------------------12分

17．解：（1）设，（）由成等比数列得

，----------------①,    得

∵  ∴---------------②

由①②得，  ∴-----------------------------4分

∴，显然数列是首项公差的等差数列

∴＝------------------------------------6分

[或]

（2）∵

∴＝------------8分

2＝

－＝＝---10分

∴＝。------------------------------------------12分

18．(1)解：∵

∴且,

∴平面------------ ----------------2分

在中， ,

中，

∵,

∴.--------------4分

(2)证法1：由（1）知SA=2, 在中，---6分

∵,∴-------------------8分

〔证法2：由（1）知平面，∵面，

∴,∵,,∴面

又∵面，∴〕

(3) ∵

∴为二面角C-SA-B的平面角---------10分

在中，∵

∴,

∴即所求二面角C-SA-B为-------------------------14分

19．解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线………………………………2分

　　　　∵      ∴　

∴　曲线方程是………4分

（2）设圆的圆心为，∵圆过，

∴圆的方程为　　……………………………7分

令得：　　

设圆与轴的两交点分别为，

方法1：不妨设，由求根公式得

，…………………………10分

∴

又∵点在抛物线上，∴，

∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分

∴当运动时，弦长为定值4…………………………………………………14分

　〔方法2：∵，　

∴

　又∵点在抛物线上，∴， ∴　　

∴当运动时，弦长为定值4〕

20. 解：设AN的长为x米（x >2）

       ∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ ------------------------------------- 4分

（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，

       ∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

       ∴       即AN长的取值范围是----------- 8分

（2）令y＝，则y′＝  -------------- 10分

∵当，y′< 0，∴函数y＝在上为单调递减函数，

∴当x＝3时y＝取得最大值，即（平方米）

此时|AN|＝3米，|AM|＝米      ---------------------- 12分

21．解：

（1） 

---------------2分

当时，函数有一个零点；--------------3分

当时，，函数有两个零点。------------4分

（2）令，则

 ，

在内必有一个实根。

即方程必有一个实数根属于。------------8分

(3)假设存在，由①得

由②知对,都有

令得

由得，

当时，，其顶点为（－1，0）满足条件①，又对,都有，满足条件②。

∴存在，使同时满足条件①、②。------------------------------14分