题目列表(包括答案和解析)
一、1―12 BABCA BACAD AC
二、13. 14. 15.1 16.②④
三、解答题
17.解:(Ⅰ)依题意得 (2分)
∴
(4分)
(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,所以的最小正周期为
(7分)
∵, ∴ (8分)
∴ (10分)
∴ (11分)
所以函数的值域是 (12分)
18.解:(1)a取集合{0,1,2,3}中任一元素,b取集合{0,1,2}中任一元素
∴a、b的取值 情况有(0,0),(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0),
(2,1),(2,2),(3,0)(3,1)(3,2)其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,基本事件总数为12.
设“方程有两个不相等的实根”为事件A,
当时方程有两个不相等实根的充要条件为
当时,的取值有(1,0)(2,0)(2,1)(3,0)(3,1)(3,2)
即A包含的基本事件数为6.
∴方程有两个不相等的实根的概率 (6分)
(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中任取一个数
则试验的全部结果构成区域
这是一个矩形区域,其面积
设“方程没有实根”为事件B
则事件B构成的区域为
即图中阴影部分的梯形,其面积
由几何概型的概率计算公式可得方程没有实根的概率
(12分)
19.解:(1)判断:平面 (2分)
证明:
因在中,,分别
是的中点,有
(4分)
又因
平面,
平面 (5分)
所以
平面 (6分)
(2)过点作于点,面面,面面,而面,故平面,
于是是三棱锥的高 (8分)
又的面积为
(10分)
故三棱锥的体积为
(12分)
20.解:(1)时,,∴; (2分)
当时,,∴ (4分)
∴通项公式 (6分)
, (8分)
即
所以
(12分)
21.解:(1)因为、为椭圆的上、下焦点,所以,设。
所以
因为
所以,整理可得
所以求动点的轨迹的方程为 (4分)
(2)(法一)设过点所作曲线的切线斜率为,则切线方程
由 可得:
,所以或 (6分)
过点所作曲线的切线方程为和
由 和 可分别解得:和
所以直线的方程的方程为: (8分)
(法二)设过点所作曲线的两切线的切点为,
则 记 则,
则两条切线的方程为
即:
和
即:
因为两条切线均经过点,所以且
所以,直线的方程的方程为:
(3)若存在,不防设其坐标为,过点所作曲线的切线斜率为,则切线方程为,即
由 可得:
因为直线和抛物线相切,所以 (10分)
设两条切线的斜率分别为,则
因为 所以
所以 两条切线垂直 所以 所以
所以 在直线上是存在点满足题意。 (12分)
22.解:(1)由题设得,
∵,则 ∴,
所以 (2分)
所以对于任意实数恒成立
∴ 故 (3分)
(2)由,求导数得
,在上恒单调,只需或在 上恒成立,即或恒成立,所以或 在上恒成立 (6分)
记,可知:,
∴ 或 (8分)
(3)令,则 令,则,列表如下:
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
+
0
―
0
+
0
―
递增
极大值
递减
极小值1
递增
极大值
递减
∴时,无零点;或时,有两个零点;时有三个零点;时,有四个零点 (14分)
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