已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时f(x)=x2-

1

3

x3
（1）求f（x）的解析式
（2）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性
（3）设g（x）是函数f（x）在区间（0，+∞）上的导函数．若a＞1且g（x）在区间[

1

2

，a]上的值域为[

1

a

，1]，求a的值．

已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m为非零常数
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当-2＜m＜0时，判断函数f（x）的单调性并且说明理由；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设直线l：y=t²-t（其中0＜t＜

1

2

，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S₁（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是S₂（t），设g(t)=S1(t)+

1

2

S2(t)，当g（t）取最小值时，求t的值．
（3）已知m≥0，n≥0，求证：

1

2

(m+n)2+

1

4

(m+n)≥m

n

+n

m

．

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设直线l：y=t²-t（其中0＜t＜

1

2

，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S₁（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是S₂（t），设g（t）=S₁（t）+

1

2

S₂（t），当g（t）取最小值时，求t的值．

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若k=

1

3

，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间[

1

2

，a]上的值域为[

1

a

，1]，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．