（2013•宿迁一模）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的 垂直平分线，若AB=6，CD=2

5

，求线段AC的长度．
B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵M=

2 1 1 a

的一个特征值是3，求直线x-2y-3=0在M作用下的新直线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是

x=cosα y=sinα+1

（α是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集为R，求正实数a的取值范围．

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本题包括（1）、（2）、（3）、（4）四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内答，
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）、选修4-1：几何证明选讲
如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
（2）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
若点A（2，2）在矩阵M=

cosα -sinα sinα cosα

对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵
（3）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
在极坐标系中，A为曲线ρ²+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值．
（4）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知a₁，a₂…a_n都是正数，且a₁•a₂…a_n=1，求证：（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n）≥3ⁿ．

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（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
求证：AD的延长线平分∠CDE
B．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵A=

1 2 -1 4

（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
设a，b，c均为正实数，求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

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一、A；A；C；D；A；A； C；C；B； D；C；A

二、13、或； 14、80；  15、；16、 ；

17、解：⑴

………………………………………3分

时，由得函数的递增区间为

时，由得函数的递增区间为…………………………………………5分

⑵

……………………………………………7分

时，得：（舍）

时，得

综上，……………………………………………………10分

18、解：用分别表示三列火车正点到达的事件，则

⑴恰有两列火车正点到达的概率记为,则

……………………………………………4分

⑵三列火车正点的列数分别为。则

……………………………………………………………8分

…………………………10分

19．解：方法一：（I）证明：，

又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝BC，

平面ABCD ……2分

   在梯形ABCD中，可得

   ，即

    在平面ABCD内的射影为AO，                  ……4分

   （II）解：，且平面平面ABCD

    平面PBC， 平面PBC，

    为二面角P―DC―B的平面角                                 ……6分

    是等边三角形即二面角P―DC―B的大小为 …8分

 （III）证明：取PB的中点N，连结CN， ①

    ，且平面平面ABCD，平面PBC  ……10分

    平面PAB    平面平面PAB  ②

     由①、②知平面PAB…………..10分

连结DM、MN，则由MN//AB//CD，，

得四边形MNCD为平行四边形，，平面PAB．

平面PAD    平面平面PAB ……………….12分

方法二：取BC的中点O，因为是等边三角形，

    由侧面底面ABCD    得底面ABCD ……1分

以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O―xyz……2分

（I）证明：，则在直角梯形中，

    在等边三角形PBC中，……3分

    ，即…4分

 （II）解：取PC中点N，则

    平面PDC，显然，且平面ABCD

    所夹角等于所求二面角的平面角                         ……6分

 ，二面角的大小为             ……8分

（III）证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为

    又                                         ……10分

，

    即

平面PAB，平面平面PAB                           ……12分

20．解：Ⅰ由已知得： ……………………………………2分

当解得：…………………………………………3分

当时，，带入上式得：

配方得：

所以……………………………………………5分

所以……………………………………7分

Ⅱ

………………………………………………………………9分

…………………11分

…………………………………………………………12分

21．解：（I）右准线，渐近线

    ，

                     ……3分

    （II）

双曲线C的方程为：               ……7分

    （III）由题意可得                           ……8分

    证明：设，点

    由得

    与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

                                ……11分

    ，得

的取值范围是（0，1）                            ……13分

22．解：⑴；

当时，；

令，该二次函数的对称轴为

当时，设，，则；

当时，要使在上是单调函数，只能为上的减函数

故函数在上满足：

或，解得。综上…………5分

⑵当时，；

当；当

所以…………………………………………………8分

⑶反证法：不妨设，由⑵知

所以

所以

所以；

因为时，这与上面的结论矛盾，故

同理……………………………………………13分