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如图，

BC

的大小是

AB

大小的k倍，

BC

的方向由

AB

的方向逆时针旋转θ角得到，则我们称

AB

经过一次（θ，k）延伸得到

BC

． 已知

OA1

=(1，0)
（1）向量

OA1

经过2次(

π

2

，

1

2

)延伸，分别得到向量

A1A2

、

A2A3

，求

A1A2

、

A2A3

的坐标．
（2）向量

OA1

经过n-1次(

π

2

，

1

2

)延伸得到的最后一个向量
为

An-1An

，（n∈N^*，n＞1），设点A_n（x_n，y_n），求A_n的极限位置A(

lim

n→∞

xn，

lim

n→∞

yn)
（3）向量

OA1

经过2次（θ，k）延伸得到向量

A1A2

、

A2A3

，其中k＞0，θ∈（0，π），若

OA1

、

A1A2

、

A2A3

恰能够构成一个三角形（即A₃与O重合），求θ，k的值．

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一. DCADB   CCDAC

二.11. （，3）∪（3，4）12.   13. 2  14.  9  15. 1

16．解：（Ⅰ）由已知得：，   ……………………… (3分)

又是△ABC的内角，所以．     ………………………………… (6分)

（2）由正弦定理：，………………9分

又因为，，又是△ABC的内角，所以．………………12分

17．解：（I）由，得．??????????????4分

（II）．????????????????7分

由，得，又，所以，??????????11分

即的取值范围是．????????????????????????12分

18. 解:  (1) .…………………………6分

(2)原式

       .……………………………………………8分

19、解：（1）

 … 2分

则的最小正周期， ???????????????????4分    

且当时单调递增．

即为的单调递增区间（写成开区间不扣分）．??7分

（2）当时，当，即时．

所以．?????????????????11分     

为的对称轴．??????????14分    

20.解：（Ⅰ）∵，当时，.

     ∴在[1，3]上是增函数.---------------------------------3分

     ∴当时，≤≤，即 -2≤≤26.

     所以当时，当时，----4分

 ∴存在常数M=26，使得，都有≤M成立.

       故函数是[1，3]上的有界函数.---------------------------6分

（Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1----------------8分

   ∴      ------------------------10分

令，显然在上单调递减，

则当t→+∞时，→1.  ∴

令，显然在上单调递减，

则当时，   ∴

      ∴0≤a≤1；                              

故所求a的取值范围为0≤a≤1. -------------14分

21.解：(I) 由题意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－ －2      ………… 1分

 Þ (p－q) (e + ) = 0       ………… 2分

而 e + ≠0

∴    p = q       ………… 3分

(II)  由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x

 f’(x) = p + －=   ………… 4分

令 h(x) = px ²－2x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+¥) 内满足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立.     ………… 5分

① 当 p = 0时， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f’(x) = － < 0，

∴    f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递减，故 p = 0适合题意.      ………… 6分

② 当 p > 0时，h(x) = px ²－2x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = ∈(0,+¥)，∴      h(x)_min = p－

只需 p－≥1，即 p≥1 时 h(x)≥0，f’(x)≥0

∴    f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递增，

故 p≥1适合题意.      ………… 7分

③ 当 p < 0时，h(x) = px ²－2x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = Ï (0,+¥)

只需 h(0)≤0，即 p≤0时 h(x)≤0在 (0,+¥) 恒成立.

故 p < 0适合题意.      ………… 8分

综上可得，p≥1或 p≤0     ………… 9分

另解：(II)      由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x

 f’(x) = p + －= p (1 + )－      ………… 4分

要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 f’(x) 在 (0,+¥) 内满足：f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立.    ………… 5分

由 f’(x)≥0 Û p (1 + )－≥0 Û p≥ Û p≥()_max，x > 0

∵    ≤ = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()_max = 1

∴    p≥1       ………… 7分

由 f’(x)≤0 Û p (1 + )－≤0 Û p≤  Û p≤()_min，x > 0

而 > 0 且 x → 0 时，→ 0，故 p≤0    ………… 8分

综上可得，p≥1或 p≤0     ………… 9分

(III) ∵    g(x) = 在 [1,e] 上是减函数

∴    x = e 时，g(x)_min = 2，x = 1 时，g(x)_max = 2e

即    g(x) Î [2,2e] ………… 10分

① p≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 Þ f (x)_max = f (1) = 0 < 2，不合题意。       …11分

② 0 < p < 1 时，由x Î [1,e] Þ x－≥0

∴    f (x) = p (x－)－2ln x≤x－－2ln x

右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增

∴    f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合题意。       ………… 12分

③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数

∴    本命题 Û f (x)_max > g(x)_min = 2，x Î [1,e]

 Þ f (x)_max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2

 Þ p >      ………… 13分

综上，p 的取值范围是 (,+¥) ………… 14分