三棱锥的三视图如图所示，求该三棱锥外接球的体积

6

π

6

π

．

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说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

      2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

      3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

D

C

B

A

D

A

C

B

10．方法1：由，得，

即．

于是，

所以．

    方法2：由，得，

即．

于是，

则（其中），再利用导数的方法求解．

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共5小题，每小题5分，满分20分．

11．760         12．12         13．3；－1         14．         15．3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查互斥事件等基础知识，考查运算求解能力）

解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件，“甲射击一次，命中7环”为事件，由于在一次射击中，与不可能同时发生，故与是互斥事件，

（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为，

由互斥事件的概率加法公式，．

答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．…………………………………6分

（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为，

∴．

答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分

方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件，

∴=1－0.1＝0.9．

答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识，考查运算求解能力）

解：（1）由余弦定理，，………………………………………2分

得，…………………………………………………4分

．……………………………………………………………………………6分

（2）方法1：由余弦定理，得，………………………………8分

，………………………10分

∵是的内角，

∴．………………………………………………………12分

方法2：∵，且是的内角，

∴．………………………………………………………8分

根据正弦定理，，……………………………………………………10分

得． ……………………………………………12分

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间中线面关系，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）

（1）证法1：如图，取的中点，连接，

∵分别为的中点，∴．

∵分别为的中点，∴．

∴．

∴四点共面．………………………………………………………………2分

∵分别为的中点，∴．……………………………………4分

∵平面，平面，

∴平面．……………………………………………………………………6分

证法2：∵分别为的中点，

∴，．……………………………………………………………2分

∵，∴．

∵，，∴平面平面． …………………5分

∵平面，∴平面． …………………………………………6分

（2）解：∵平面，平面，∴．

∵为正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………8分

∵，，∴．……………10分

∵，

∴．…………………………………14分

19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆方程的定义等基础知识，考查分类与整合、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）

解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，………………………………1分

    其中，，则．………………………………………2分

所以动点M的轨迹方程为．………………………………………………4分

（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．………………………………………5分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，

∵，∴．……………………………………………7分

　　  ∵，，

∴．

　　　∴ ．………… ①  …………………………9分

由方程组

得．…………………………………………………11分

则，，

代入①，得．

即，解得，或．………………………………………………13分

　所以，直线的方程是或．………………………………14分

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数与导数的概念、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识）

解：（1）∵，且，…………………………………1分

当时，得；当时，得；

∴的单调递增区间为；

的单调递减区间为和．…………………………………3分

故当时，有极大值，其极大值为． …………………4分

（2）∵，

当时，，

∴在区间内是单调递减．…………………………………………6分

∴．

∵，∴

此时，．…………………………………………………………………………9分

当时，．

∵，∴即 ……11分

此时，．……………………………………………………………13分

综上可知，实数的取值范围为．…………………………………14分

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）

解：（1）由已知，（，）， …………………2分

即（，），且．

∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．

∴．……………………………………………………………………………4分

（2）∵，∴，要使恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立．……………………………………………………………6分

（?）当为奇数时，即恒成立，…………………………………………7分

当且仅当时，有最小值为1，

∴．………………………………………………………………………………9分

（?）当为偶数时，即恒成立，………………………………………10分

当且仅当时，有最大值，

∴．……………………………………………………………………………12分

即，又为非零整数，则．

综上所述，存在，使得对任意，都有．…………………14分